Question

直線y=kx-6過點A（1，-4），與x軸交于點B，與y軸交于點D，以點A為頂點的拋物線經過點B，且交y軸于點C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如果點P在x軸上，且△ACD與△PBC相似，求點P的坐標；
（3）如果直線l與直線y=kx-6關于直線BC對稱，求直線l的表達式．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：綜合題

分析：（1）將A坐標代入一次函數解析式求出k的值，進而求出B坐標，根據A為拋物線的頂點，設出拋物線頂點形式，將B坐標代入求出a的值，確定出拋物線解析式；
（2）由k的值確定出一次函數解析式，求出D的坐標，由拋物線解析式求出C坐標，由A的坐標得到∠DCA=45°，且AC=

2

，CD=3，根據B與C坐標得到∠OCB=45°，
可得出∠DCA=∠OCB，由△ACD與△PBC相似，且點P在x軸上，得到點P在B點的左側，分兩種情況考慮：當△CBP∽△ACD時，當△BPC∽△CAD時，分別求出BP的長，即可確定出P的坐標；
（3）過點D作DH⊥BC并延長DH到點M，使HM=HD，連接CM、BM，可得直線BM即為直線l，且CM=CD，∠MCH=∠DCH，根據C與D坐標得到CM=CD，根據B與C坐標得到三角形BOC為等腰直角三角形，利用等腰三角形的性質得到∠OCB=45°，進而得到∠MCH=45°，∠MCD=90°，得出MC⊥y軸，確定出M坐標，設直線l的解析式為y=kx+b，將B與M坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線l解析式．

解答：解：（1）∵y=kx-6過點A（1，-4），
∴-4=k-6，
∴k=2，即y=2x-6，
令y=0，得到x=3，即B（3，0），
∵以點A為頂點的拋物線經過點B，
∴設解析式為y=a（x-1）²-4，
將x=3，y=0代入得：0=a（3-1）²-4，
解得：a=1，
∴拋物線的表達式為y=x²-2x-3；

（2）∵k=2，
∴y=kx-6，即y=2x-6，
∴D（0，-6），
∵拋物線與y軸交于點C，
∴C（0，-3），
∵A（1，-4），
∴∠DCA=45°，且AC=

2

，CD=3，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴∠OCB=45°，
∴∠DCA=∠OCB，
∵△ACD與△PBC相似，且點P在x軸上，
∴點P在B點的左側，
當△CBP∽△ACD時，

BP

BC

=

CA

CD

，即

BP

3 2

=

2

3

，解得：BP=2；
當△BPC∽△CAD時，

BP

BC

=

CD

CA

，即

BP

3 2

=

3

2

，解得：BP=9，
∴BP=2或9，
∴點P坐標為（1，0）或（-6，0）；

（3）過點D作DH⊥BC并延長DH到點M，使HM=HD，連接CM、BM，
∴直線BM即為直線l，且CM=CD，∠MCH=∠DCH，
∵C（0，-3），D（0，-6），
∴CM=CD=3，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴∠OCB=45°，
∴∠DCH=∠OCB=45°，
∴∠MCH=45°，
∴∠MCD=90°，即MC⊥y軸，
∵MC=CD=3，
∴M（-3，-3），
設直線l的解析式為y=kx+b，則

-3=-3k+b 0=3k+b

，
解得：

k= 1 2 b=- 3 2

，
∴直線l的解析式為y=

1

2

x-

3

2

．

點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求函數解析式，坐標與圖形性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．