Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，連接DE交AB于點(diǎn)F，∠AED=2∠CED，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)．
（1）若BE=2，AG=4，求AB的長(zhǎng)；
（2）若BC=2AB，求∠AED的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ABC=∠ABE=90°，AD∥BC，求出∠ADE=∠CED，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出∠AEG=∠AGE，推出AE=AG=4，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）過(guò)G作GH⊥AB于H，求出GH=AB，AE=AG=GF，證Rt△GHF≌Rt△ABE，推出∠AFG=∠AEB，求出∠EFB=∠AEB=3∠CED，得出4∠CED=90°，即可求出答案．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ABE=90°，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵G為DF的中點(diǎn)，
∴AG=DG=EG，
∴∠ADE=∠GAD，
∴∠AGE=∠GAD+∠ADG=2∠ADG，
∵∠AED=2∠CED，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG=4，
在Rt△ABE中，BE=2，AE=4，由勾股定理得：AB=

42-22

=2

3

；

（2）
過(guò)G作GH⊥AB于H，
∵∠DAB=90°，
∴GH∥AD，
∵G為DF中點(diǎn)，
∴AH=HF，
∴GH=

1

2

AD=

1

2

BC，
∵BC=2AB，
∴AB=GH，
∵∠BAD=90°，G為DF中點(diǎn)，
∴AG=GF，
∵AG=AE，
∴AE=GF，
在Rt△GHF和Rt△ABE中

GF=AE GH=AB

∴Rt△GHF≌Rt△ABE（HL），
∴∠AFG=∠AEB，
∵∠AED=2∠CED，∠AFG=∠EFB，
∴∠EFB=∠AEB=3∠CED，
∵∠ABE=90°，
∴4∠CED=90°，
∴∠CED=22.5°，
∴∠AED=2∠CED=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．