Question

閱讀下面文字，解決下列問題
（1）問題背景 宇昕同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，求證：BE+DF=EF．
宇昕是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上．他先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題．
他的方法是將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG（如圖2），此時GE即是DF+BE．
請回答：在圖2中，∠GAF的度數(shù)是

 

、△AGE≌△

 

．
（2）拓展研究  如圖3，若E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠B+∠D=180°，AB=AD，要使（1）中線段BE，EF，F(xiàn)D的等量關(guān)系仍然成立，則∠EAF與∠BAD應(yīng)滿足的關(guān)系是

 

．
（3）構(gòu)造運(yùn)用  運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下面問題：如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=22.5°，點(diǎn)E在AB上，且∠DCE=67.5°，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AE=3

2

，試求線段AD，BE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，所以AG=AF，∠GAF=90°因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠GAE=∠EAF=45°，從而證得△AGE≌△AEF；
（2）延長FD使DG=BE，連接AG，可證得△ABE≌△ADG，從而證得△AEF≌△AFG，則可證得∠EAF=

1

2

∠BAD；
（3）由∠CAB=∠CAD=22.5°可得∠DAE=45°，DE⊥AB所以DE=AE=3

2

．根據(jù)勾股定理可求得AD=6，由∠CAB=∠CAD=22.5°根據(jù)角的平分線上的點(diǎn)到兩邊的點(diǎn)到兩邊的距離相等，可證得BC=CF，然后證得△CBG≌△CFD，再證得△CGE≌△CED，求得∠3=∠4=45°，從而求得CE=AE=3

2

，在△CBE中根據(jù)勾股定理求得BE的長，

解答：解；（1）∠GAF的度數(shù)是 90°、△AGE≌△AEF；
將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，
∠GAB=∠DAF，GB=DF，
∵∠GAF=90°，∠EAF=45°；
∴∠GAE=∠EAF=45°；
在△AGE與△AEF中
∴

AG=AF ∠GAE=∠EAF=45 AE=AE

，
∴△AGE≌△AEF（SAS），
∴GB+BE=EF，
∵GB=DF，
∴BE+DF=EF．

（2）∠EAF=

1

2

∠BAD，
延長FD使DG=BE，連接AG
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADG；
在△ABE于△ADG中

AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG

∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG；
∵BE+DF=EF，DG=BE，
∴DG+DF=EF，
即GF=EF，
在△AEF與△AFG中

AE=AG GF=EF AB=AD

∴△AEF≌△AFG（SSS），
∴∠FAG=∠EAF，
∵∠BAE=∠DAG，
∴∠BAE+∠CAD=∠FAG，
∴∠EAF=

1

2

∠BAD．

（3）∵∠CAB=∠CAD=22.5°，
∴∠DAE=45°，
又∵∠AED=90°，
∴DE=AE=3

2

，
∴AD=

DE2+AE2

=6．
延長AD，過點(diǎn)C作CF垂直AD于F，
由∠CAB=∠CAD可知AC為∠BAD的角平分線，
∴CB=CF，
把三角形CDF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CF與CB重合，則DF與GB重合．
∴CG=CD，∠GCB=∠DCF；
∵CB⊥AB，CF⊥AD，∠CAB=∠CAD=22.5°；
∴∠ACB=∠ACF=67.5°=∠DCE
∴∠DCA=∠2=∠3，∠DCA+∠DCF=∠2+∠GCB=∠DCE=67.5°，
在△DCE與△GCE中

CG=CD ∠GCE=∠DCE CE=CE

，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠3=∠4=45°，
∵∠CAB=∠CAD=22.5°，∠4=∠CAB+∠ACE，
∴∠ACE=∠CAB=22.5°，
∴CE=AE=3

2

，
在Rt△CBE中，BE²+BC²=CE²，
即BE=

1 2 CE2

=3．

點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，此題是開放性試題，首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對學(xué)生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．