Question

【傾聽(tīng)理解】（這是習(xí)題講評(píng)課上師生圍繞一道習(xí)題的對(duì)話(huà)片斷）
如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．
師：當(dāng)BD=1時(shí)，同學(xué)們能求哪些量呢？
生1：求BC、OD的長(zhǎng)．
生2：求

BC

、

AC

的長(zhǎng)．
…
師：正確！老師還想追問(wèn)的是：去掉“BD=1”，大家能提出怎樣的問(wèn)題呢？
生3：求證：DE的長(zhǎng)為定值．
生4：連接AB，求△ABC面積的最大值．
…
師：你們?cè)O(shè)計(jì)的問(wèn)題真精彩，解法也很好！
【一起參與】
（1）求“生2”的問(wèn)題：“當(dāng)BD=1時(shí)，求

BC

、

AC

的長(zhǎng)”；
（2）選擇“生3”或“生4”提出的一個(gè)問(wèn)題，并給出解答．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）連OC，當(dāng)BD=1時(shí)，根據(jù)OD⊥BC可知BC=2BD=2，故△OBC是等邊三角形，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；
（2）生3的問(wèn)題：連結(jié)AB，在Rt△AOB中，直接根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出DE的長(zhǎng)；生4的問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)C弧AB的中點(diǎn)時(shí)，△ABC面積的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式得出結(jié)論即可．

解答：解：（1）連OC，當(dāng)BD=1時(shí)，
∵OD⊥BC
∴BC=2BD=2，
∴△OBC是等邊三角形．
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=30°，
∴

BC

=

60

360

•4π=

2

3

π．
∴

AC

=

30

360

•4π=

1

3

π；

（2）生3的問(wèn)題：連結(jié)AB，在Rt△AOB中，AB=2

2

，
∴DE=

1

2

AB=

2

．
生4的問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)C弧AB的中點(diǎn)時(shí)，△ABC面積的最大值，
此時(shí)最大值為2

2

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到弧長(zhǎng)公式及等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．