Question

將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖①擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C．

（1）求∠ADE的度數(shù)；

（2）如圖②，將△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），此時的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，試判斷的值是否隨著α的變化而變化？如果不變，請求出的值；反之，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）120°；（2）的值不隨著α的變化而變化，是定值．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=AB，根據(jù)等邊對等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根據(jù)∠ADE=∠ADC﹣∠EDF計算即可得解．

（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD=60°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CPD=60°，從而得到∠CPD=∠BCD，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得為定值．

試題解析：【解析】
（1）∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°．

∵點D為AB的中點，∴CD=AD=BD=AB．∴∠ACD=∠A=30°．

∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°．

∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°．

（2）∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°．∴∠PDM=∠CDN．

∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等邊三角形．∴∠BCD=60°．

∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD．

在△DPM和△DCN中，∵∠PDM=∠CDN，∠CPD=∠BCD，

∴△DPM∽△DCN．∴．

∵=tan∠ACD=tan30°=，∴的值不隨著α的變化而變化，是定值．

考點：1．面動旋轉(zhuǎn)問題；2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；3．直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)；4．等腰（邊）三角形的判定和性質(zhì)；5．三角形外角性質(zhì)；6．相似三角形的判定和性質(zhì)；7．銳角三角函數(shù)定義；8．特殊角的三角函數(shù)值．