Question

將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．

（1）求∠ADE的度數(shù)；

（2）如圖②，將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），此時(shí)的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點(diǎn)M，DF′交BC于點(diǎn)N，試判斷的值是否隨著α的變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出的值；反之，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

（1）120°；（2）的值不隨著α的變化而變化，是定值．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=AB，根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根據(jù)∠ADE=∠ADC﹣∠EDF計(jì)算即可得解．

（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD=60°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CPD=60°，從而得到∠CPD=∠BCD，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得為定值．

試題解析：【解析】
（1）∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°．

∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴CD=AD=BD=AB．∴∠ACD=∠A=30°．

∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°．

∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°．

（2）∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°．∴∠PDM=∠CDN．

∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等邊三角形．∴∠BCD=60°．

∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD．

在△DPM和△DCN中，∵∠PDM=∠CDN，∠CPD=∠BCD，

∴△DPM∽△DCN．∴．

∵=tan∠ACD=tan30°=，∴的值不隨著α的變化而變化，是定值．

考點(diǎn)：1．面動(dòng)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題；2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；3．直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)；4．等腰（邊）三角形的判定和性質(zhì)；5．三角形外角性質(zhì)；6．相似三角形的判定和性質(zhì)；7．銳角三角函數(shù)定義；8．特殊角的三角函數(shù)值．