Question

如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作直線OC，使∠BOC=120°，將一塊 含30°，60°的直角三角板的直角頂點放在O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB下方．
（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．問：直線ON是否平分∠AOC？請說明理由．
（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒6°的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周．
①若旋轉(zhuǎn)到某一時刻，使ON在∠AOC的內(nèi)部，且∠AOM=3∠NOC，求旋轉(zhuǎn)時間t的值．
②在旋轉(zhuǎn)過程中，直線MN∥直線OC時，求旋轉(zhuǎn)時間t的值．

Answer 1

考點：角的計算,角平分線的定義

專題：

分析：（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；
（2）①根據(jù)角之間的關(guān)系求出∠CON=15°，進而求出旋轉(zhuǎn)角等于225°．
②由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，則∠RON=30°，即旋轉(zhuǎn)90°或270°時ON平分∠AOC，據(jù)此求解；

解答：解：（1）直線ON平分∠AOC．
理由：如圖2，

設ON的反向延長線為OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON（對頂角相等），
∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC
即直線ON平分∠AOC．
（2）①如圖3，

ON在∠AOC的內(nèi)部，且∠AOM=3∠NOC，
∵∠AOM+∠AON=90°，∠CON+∠AON=60°，
∴∠AOM-∠CON=30°，
∴∠CON=15°，旋轉(zhuǎn)角為225°，
故t=

225

6

=37.5（秒）．

②如圖

如圖4：
∵MN∥OC，
∴∠M=∠COM=30°，
∴∠BOM=90°，
即旋轉(zhuǎn)角為90°，
∴t=90÷6=15（秒）
如圖5：

∵MN∥OC，
∴∠ONM=∠AOC=60°
∴點N在AB上
∴旋轉(zhuǎn)角為270°
∴t=270÷6=45（秒）
即t的值為：

90

6

=15（秒）或

270

6

=45（秒）．

點評：此題考查了角平分線的定義，應該認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．