【題目】(題文)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接BE,作點(diǎn)A關(guān)于BE的對稱點(diǎn)F,且點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部,連結(jié)AF,BF,EF,過點(diǎn)F作GF⊥AF交AD于點(diǎn)G,設(shè) =n.
(1)求證:AE=GE;
(2)當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí),用含n的代數(shù)式表示的值;
(3)若AD=4AB,且以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,求n的值.
【答案】(1)見解析;(2);(3)n=16或 8+4.
【解析】試題(1)因?yàn)?/span>GF⊥AF,由對稱易得AE=EF,則由直角三角形的兩個(gè)銳角的和為90度,且等邊對等角,即可證明E是AG的中點(diǎn);(2)可設(shè)AE=a,則AD=na,即需要用n或a表示出AB,由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°,可證明△ABE~△DAC , 則,因?yàn)?/span>AB=DC,且DA,AE已知表示出來了,所以可求出AB,即可解答;(3)求以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)的n,需要分類討論,一般分三個(gè),∠FCG=90°,∠CFG=90°,∠CGF=90°;根據(jù)點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部就可排除∠FCG=90°,所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°進(jìn)行分析解答.
試題解析:(1)證明:由對稱得AE=FE,∴∠EAF=∠EFA,∵GF⊥AE,∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°,∴∠FGA=∠EFG,∴EG=EF,∴AE=EG.
(2)解:設(shè)AE=a,則AD=na,當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)(如圖1),由對稱得BE⊥AF,∴∠ABE+∠BAC=90°,∵∠DAC+∠BAC=90°,∴∠ABE=∠DAC,又∵∠BAE=∠D=90°,∴△ABE~△DAC ,∴
∵AB=DC,∴AB2=AD·AE=na·a=na2,∵AB>0,∴AB=,∴= =,∴=.
(3)解:設(shè)AE=a,則AD=na,由AD=4AB,則AB=.
當(dāng)點(diǎn)F落在線段BC上時(shí)(如圖2),EF=AE=AB=a,此時(shí),∴n=4,∴當(dāng)點(diǎn)F落在矩形外部時(shí),n>4.
∵點(diǎn)F落在矩形的內(nèi)部,點(diǎn)G在AD上,∴∠FCG<∠BCD,∴∠FCG<90°,若∠CFG=90°,則點(diǎn)F落在AC上,由(2)得=,∴n=16.
若∠CGF=90°(如圖3),則∠CGD+∠AGF=90°,∵∠FAG+∠AGF=90°,∴∠CGD=∠FAG=∠ABE,∵∠BAE=∠D=90°,∴△ABE~△DGC,∴ ,∴AB·DC=DG·AE,即.
解得 n=或n=<4(不合題意,舍去),∴當(dāng)n=16或 時(shí),以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線l:y=(x﹣h)2﹣4(h為常數(shù))
(1)如圖1,當(dāng)拋物線l恰好經(jīng)過點(diǎn)P(1,﹣4)時(shí),l與x軸從左到右的交點(diǎn)為A、B,與y軸交于點(diǎn)C.
①求l的解析式,并寫出l的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo).
②在l上是否存在點(diǎn)D,使S△ABD=S△ABC , 若存在,請求出D點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
③點(diǎn)M是l上任意一點(diǎn),過點(diǎn)M做ME垂直y軸于點(diǎn)E,交直線BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時(shí),求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2)設(shè)l與雙曲線y=有個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0,且滿足3≤x0≤5,通過l位置隨h變化的過程,直接寫出h的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,菱形ABCD中,AB=5cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿折線BC﹣CD﹣DA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止,動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止,它們運(yùn)動(dòng)的速度相同,設(shè)點(diǎn)P出發(fā)xs時(shí),△BPQ的面積為ycm2 , 已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示,其中OM,MN為線段,曲線NK為拋物線的一部分,請根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(1)當(dāng)1<x<2時(shí),△BPQ的面積________(填“變”或“不變”);
(2)分別求出線段OM,曲線NK所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(3)當(dāng)x為何值時(shí),△BPQ的面積是5cm2?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三名大學(xué)生競選系學(xué)生會(huì)主席,他們的筆試成績和口試成績(單位:分)分別用了兩種方式進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),如表一和圖一:
(1)請將表一和圖一中的空缺部分補(bǔ)充完整.
(2)競選的最后一個(gè)程序是由本系的300名學(xué)生進(jìn)行投票,三位候選人的得票情況如圖二(沒有棄權(quán)票,每名學(xué)生只能推薦一個(gè)),請計(jì)算每人的得票數(shù).
(3)若每票計(jì)1分,系里將筆試、口試、得票三項(xiàng)測試得分按的比例確定個(gè)人成績,請計(jì)算三位候選人的最后成績,并根據(jù)成績判斷誰能當(dāng)選.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017浙江省嘉興市,第20題,8分)如圖,一次函數(shù)()與反比例函數(shù)()的圖象交于點(diǎn)A(﹣1,2),B(m,﹣1).
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P(n,0)(n>0),使△ABP為等腰三角形?若存在,求n的值;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某日的錢塘江觀潮信息如表:
按上述信息,小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地之間的距離(千米)與時(shí)間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系用圖3表示,其中:“11:40時(shí)甲地‘交叉潮’的潮頭離乙地12千米”記為點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為,曲線可用二次函數(shù)(,是常數(shù))刻畫.
(1)求的值,并求出潮頭從甲地到乙地的速度;
(2)11:59時(shí),小紅騎單車從乙地出發(fā),沿江邊公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮,問她幾分鐘后與潮頭相遇?
(3)相遇后,小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭,沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行,但潮頭過乙地后均勻加速,而單車最高速度為千米/分,小紅逐漸落后,問小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8千米共需多長時(shí)間?(潮水加速階段速度,是加速前的速度).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊△ABC,請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī),按下列要求作圖(不要求寫作法,但要保留作圖痕跡):
(1)作△ABC的外心O;
(2)設(shè)D是AB邊上一點(diǎn),在圖中作出一個(gè)正六邊形DEFGHI,使點(diǎn)F,點(diǎn)H分別在邊BC和AC上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用黑白兩種顏色的正方形紙片,按黑色紙片數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成一系列圖案,請仔細(xì)觀察,并回答下列問題:
(1)第4個(gè)圖案中有白色紙片多少張?
(2)第n個(gè)圖案中有白色紙片多少張?
(3)第幾個(gè)圖案有白色紙片有2011張?(寫出必要的步驟)
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