Question

【題目】如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，連結(jié)并延長分別交，于點(diǎn)、.

（1）求的長.

（2）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求的值.

（3）請問當(dāng)的長滿足什么條件時，在線段上恰好只有一點(diǎn)，使得?

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）當(dāng)或時，滿足條件的點(diǎn)只有一個.

【解析】

（1）由角平分線定義得，在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)正切定義即可求得長.

（2）由題意易求得，，由全等三角形判定得，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得，根據(jù)相似三角形判定得，由相似三角形性質(zhì)得，將代入即可求得答案.

（3）由圓周角定理可得是頂角為120°的等腰三角形，再分情況討論：

①當(dāng)與相切時，結(jié)合題意畫出圖形，過點(diǎn)作，并延長與交于點(diǎn)，連結(jié)，，設(shè)半徑為，由相似三角形的判定和性質(zhì)即可求得長；

②當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，結(jié)合題意畫出圖形，過點(diǎn)作，設(shè)半徑為，在中，根據(jù)勾股定理求得，再由相似三角形的判定和性質(zhì)即可求得長；③當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，結(jié)合題意畫出圖形，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，且恰好在點(diǎn)處，由此可得長.

（1）解：∵平分，，

∴．

在中，

（2）解：易得，，．

由，得，．

∵，

∴，

∴．

由，得，

∴

∴

（3）解：∵，過，，作外接圓，圓心為，

∴是頂角為120°的等腰三角形.

①當(dāng)與相切時，如圖1，

過點(diǎn)作，

并延長與交于點(diǎn)，連結(jié)，

設(shè)的半徑則，，

解得．

∴，．

易知，可得，則

∴．

②當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，如圖2，

過點(diǎn)作，垂足為．

設(shè)的半徑，則．

在中，，解得，

∴

易知，可得

③當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，如圖3，

此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，

且恰好在點(diǎn)處，可得．

綜上所述，當(dāng)或時，滿足條件的點(diǎn)只有一個.