Question

如圖所示，矩形AOBC在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A在x軸上，B在y軸上，直線AB的函數(shù)關(guān)系式為，M是OB上的一點(diǎn)，若將梯形AMBC沿AM折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)B′處，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′．

（1）求出B′點(diǎn)和M點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求直線A C′的函數(shù)關(guān)系式；

（3）設(shè)一動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作PQ⊥AB，交射線AM于Q；

①求運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（用含t的代數(shù)式表示）

②以Q為圓心，以PQ的長(zhǎng)為半徑作圓，當(dāng)t為何值時(shí)，⊙Q與y軸相切？

Answer 1

（1）（0，3） （2）y=（x﹣6） （3）①Q(mào)（6﹣t，）或（6﹣t，） ②當(dāng)t=4或12秒．

【解析】

試題分析：結(jié)合圖形，考慮到折疊后的圖形與原圖形的全等關(guān)系即可求得．

【解析】
（1）由一次函數(shù)可知A（6，0），B（0，8），

由Rt△AOB可得OA=6，OB=8，AB=10，AB′=10，

B′的坐標(biāo)為（﹣4，0），

設(shè)BM=a，則B′M=a，OM=8﹣a，在Rt△MOB′中OM2+OB′2=BM2，

即（8﹣a）2+42=a2，解得a=5，

故OM=3，

M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，3）；

（2）△ABC沿AM翻轉(zhuǎn)后變成△AB′C′，故△ABC≌△AB′C′，tan∠CAB=tan∠C′BA′=，

∴AC′的斜率為，

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）

∴AC′的解析式為y=（x﹣6）；

（3）由題意，點(diǎn)P坐標(biāo)為（6﹣t，﹣），作QG⊥x軸，

∴AG=AP=t，

∴①Q(mào)（6﹣t，）或（6﹣t，）

∴②當(dāng)t=4或12秒．