Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，以AE為邊作正方形AEFG，連接DE，BG．

（1）發(fā)現(xiàn)

①線段DE、BG之間的數(shù)量關(guān)系是　 　；

②直線DE、BG之間的位置關(guān)系是　 　．

（2）探究

如圖2，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）應(yīng)用

如圖3，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，記直線DE與BG的交點(diǎn)為P，若AB=4，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P到CD所在直線距離的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）發(fā)現(xiàn)：①DE=BG；②DE⊥BG；（2）探究：（1）中的結(jié)論仍然成立，理由詳見(jiàn)解析；（3）應(yīng)用：點(diǎn)P到CD所在直線距離的最大值是2+2，最小值是3﹣ ．

【解析】

（1）證明△AED≌△AGB可得出兩個(gè)結(jié)論；

（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，求出∠EAD=∠GAB，根據(jù)SAS推出△EAD≌△GAB即可；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠GBA=∠EDA，求出∠DHB=90°即可；

（3）先確定點(diǎn)P到CD所在直線距離的最大值和最小值的位置，再根據(jù)圖形求解．

解：（1）①線段DE、BG之間的數(shù)量關(guān)系是：DE=BG，

理由是：如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BDA=90°，

∴∠BAG=∠BAD=90°，

∵四邊形AEFG是正方形，

∴AE=AG，

∴△AED≌△AGB（SAS），

∴DE=BG；

②直線DE、BG之間的位置關(guān)系是：DE⊥BG，

理由是：如圖2，延長(zhǎng)DE交BG于Q，

由△AED≌△AGB得：∠ABG=∠ADE，

∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED=∠BEQ，

∴∠BEQ+∠ABG=90°，

∴∠BQE=90°，

∴DE⊥BG；

故答案為：①DE=BG；②DE⊥BG；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由是：

①如圖3，

∵四邊形AEFG和四邊形ABCD是正方形，

∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，

∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB，

在△EAD和△GAB中，

，

∴△EAD≌△GAB（SAS），

∴ED=GB；

②ED⊥GB，

理由是：∵△EAD≌△GAB，

∴∠GBA=∠EDA，

∵∠AMD+∠ADM=90°，∠BMH=∠AMD，

∴∠BMH+∠GBA=90°，

∴∠DHB=180°﹣90°=90°，

∴ED⊥GB；

（3）將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，即點(diǎn)E和G在以A為圓心，以2為半徑的圓上，過(guò)P作PH⊥CD于H，

①當(dāng)P與F重合時(shí)，此時(shí)PH最小，如圖4，

在Rt△AED中，AD=4，AE=2，

∴∠ADE=30°，DE==2，

∴DF=DE﹣EF=2﹣2，

∵AD⊥CD，PH⊥CD，

∴AD∥PH，

∴∠DPH=∠ADE=30°，

∵cos30°==，

∴PH=（2﹣2）=3﹣；

②∵DE⊥BG，∠BAD=90°，

∴以BD的中點(diǎn)O為圓心，以BD為直徑作圓，P、A在圓上，

當(dāng)P在的中點(diǎn)時(shí)，如圖5，此時(shí)PH的值最大，

∵AB=AD=4，

由勾股定理得：BD=4，

則半徑OB=OP=2，

∴PH=2+2．

綜上所述，點(diǎn)P到CD所在直線距離的最大值是2+2，最小值是3﹣．