Question

如圖，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=6，BC=4，點(diǎn)F在DC上，DF=2．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)FM、MN、FN，當(dāng)F、N、M不在同一條直線時(shí)，可得△FMN，過(guò)△FMN三邊的中點(diǎn)作△PQW．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位/秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒．試解答下列問(wèn)題：
（1）證明：△FMN∽△QWP；
（2）試問(wèn)x（0≤x≤4）為何值時(shí)，△PQW為直角三角形？
（3）問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，線段MN最短？求此時(shí)MN的值．
（4）問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，半徑為1的⊙M與半徑為NB的⊙N相切？

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)三角形中位線定理得出PQ∥FN，PW∥MN，再證明∠QPW=∠MNF，同理得出∠PQW=∠NFM，即可得出答案；
（2）根據(jù)當(dāng)△QWP是直角三角形時(shí)，△FMN也為直角三角形，作FG⊥AB，得出GB=CF=4，GN=4-x，DM=x，分兩種情況①當(dāng)MF⊥FN時(shí)，△DFM∽△GFN，得出4-x=2x，求出x，②當(dāng)MN⊥FN時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合，得出x=AD=GB=4；
（3）分兩種情況討論①當(dāng)0≤x≤4，即M從D到A運(yùn)動(dòng)時(shí)，得出只有當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最��；②當(dāng)4＜x≤6時(shí)，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²=2（x-5）²+2，當(dāng)x=5時(shí)，求得MN取得最小值2，再進(jìn)行比較即可；
（4）分兩種情況討論當(dāng)⊙M與⊙N外切時(shí)，（4-x）²+（6-x）²=（x+1）²，當(dāng)⊙M與⊙N內(nèi)切時(shí)，（x-4）²+（6-x）²=（x-1）²，再計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P、M、Q是△FMN三邊的中點(diǎn)，
∴PQ∥FN，PW∥MN，
∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF，
∴∠QPW=∠MNF，同理∠PQW=∠NFM，
∴△FMN∽△QWP；

（2）由于△FMN∽△QWP，故當(dāng)△QWP是直角三角形時(shí)，△FMN也為直角三角形．
作FG⊥AB，則四邊形FCBG是正方形，有GB=CF=CD-DF=4，GN=GB-BN=4-x，DM=x，

①當(dāng)MF⊥FN時(shí)，
∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，
∴∠DFM=∠GFN．
∵∠D=∠FGN=90°，
∴△DFM∽△GFN，
∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2，
∴GN=2DM，
∴4-x=2x，
∴x=

4

3

；

②當(dāng)MN⊥FN時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合，

∴x=AD=GB=4．
∴當(dāng)x=4或

4

3

時(shí)，△QWP為直角三角形；

（3）
①當(dāng)0≤x≤4，即M從D到A運(yùn)動(dòng)時(shí)，
只有當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最小，等于2；
②當(dāng)4＜x≤6時(shí)，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²=2（x-5）²+2
當(dāng)x=5時(shí)，MN²=2，故MN取得最小值

2

，故當(dāng)x=5時(shí)，線段MN最短，MN=

2

．

（4）當(dāng)半徑為1的⊙M與半徑為NB的⊙N外切時(shí)，（4-x）²+（6-x）²=（x+1）²解得：x₁=11-

70

，x₂=11+

70

（舍去），
當(dāng)半徑為1的⊙M與半徑為NB的⊙N內(nèi)切時(shí)，（x-4）²+（6-x）²=（x-1）²解得：x₁=9-

30

，x₂=9+

30

（舍去），
綜上：當(dāng)x=11-

70

或9-

30

時(shí)半徑為1的⊙M與半徑為NB的⊙N相切．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的中位線定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分類討論思想的應(yīng)用．