Question

（本題滿分12分， 第（1）小題6分，第（2）小題6分）

如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知直線與x軸、y軸分別相交于點A和點C，拋物線圖像過點A和點C，拋物線與x軸的另一交點是B，

（1）求出此拋物線的解析式、對稱軸以及B點坐標；

（2）若在y軸負半軸上存在點D，能使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，請求出點D的坐標．

Answer 1

(1) 對稱軸 B(-1，0) ；(2)D

【解析】

試題分析：（1）先求出點A或點C的坐標，然后代入，可得二次函數(shù)解析式，然后利用公式或配方可得對稱軸方程，令y=0 ，可求出點B的坐標；（2）根據(jù)條件分析可得△CAD∽△ABC，然后利用對應(yīng)邊成比例可求出CD的長，從而可求出點D的坐標．

試題解析：解：（1）對于函數(shù)，令x=0，則y=4，令y=0，則x=-4，所以點C的坐標為（0，4），點A的坐標為（-4，0），把點C（0，4）代入y=x2+kx+k-1，得k-1=4，解得：k=5，所以此拋物線的解析式為y=x2+5x+4，所以此拋物線的對稱軸為．令y=0得x2+5x+4=0，解得：x1=-1，x2=-4，所以點B的坐標為（-1，0）；

（2）如圖：

因為A（-4，0），C（0，4），所以O(shè)A=OC=4，所以∠OCA=∠OAC．因為∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，所以AC=，AB=OA-OB=4-1=3．因為點D在y軸負半軸上，所以∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．

又因為∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，所以∠ABC＞∠ADC．所以由條件“以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，所以，即,，解得：CD= ，所以O(shè)D=CD-CO= -4= ，所以點D的坐標為（0，- ）．

考點：1.二次函數(shù)；2.相似三角形的判定與性質(zhì).