Question

由于2013年第30號強臺風“海燕”的侵襲，致使多個城市受到影響．如圖所示，A市位于臺風中心M北偏東15°的方向上，距離61

2

千米，B市位于臺風中心M正東方向60

3

千米處．臺風中心以每小時30千米的速度沿MF向北偏東60°的方向移動（假設臺風在移動的過程中的風速保持不變），距離臺風中心60千米的圓形區(qū)域內均會受到此次強烈臺風的影響．
（1）A市、B市是否會受到此次臺風的影響？說明理由．
（2）如果受到此次臺風影響，該城市受到臺風影響的持續(xù)時間為多少小時？

Answer 1

考點：解直角三角形的應用-方向角問題

專題：

分析：（1）過A作AH⊥MN于H，故AMH是等腰直角三角形，可求出AM，則可以判斷A市是否會受到此次臺風的侵襲．
同理，過B作BH₁⊥MN于H₁，求出BH₁，可以判斷B市是否會受到此次臺風的侵襲．
（2）求該城市受到臺風侵襲的持續(xù)時間，以B為圓心60為半徑作圓與MN交于T₁、T₂，則T₁T₂就是臺風影響時經過的路徑，求出后除以臺風的速度就是時間．

解答：解：（1）設臺風中心運行的路線為射線MN，于是∠AMN=60°-15°=45°．
過A作AH⊥MN于H，故AMH是等腰直角三角形．
∵AM=61

2

，∠AMH=60°-15°=45°，
∴AH=AM•sin45°=61＞60．
∴A市不會受到臺風的影響；
過B作BH₁⊥MN于H₁．
∵MB=60

3

，∠BMN=90°-60°=30°，
∴BH₁=

1

2

×60

3

＜60，
因此B市會受到臺風的影響．

（2）以B為圓心60千米為半徑作圓與MN交于T₁、T₂，則BT₁=BT₂=60．
在Rt△BT₁H₁中，sin∠BT₁H₁=

30 3

60

，
∴∠BT₁H₁=60°．
∴△BT₁T₂是等邊三角形．
∴T₁T₂=60．
∴臺風中心經過線段T₁T₂上所用的時間

60

30

=2（小時）．
因此B市受到臺風侵襲的時間為2小時．

點評：此題主要考查了方向角問題以及銳角三角函數關系，解一般三角形的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．