【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,AB=10cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以5cm/s的速度從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B;同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以3cm/s的速度從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B,連結(jié)PQ;過點(diǎn)P作PD⊥AC交AC于點(diǎn)D,將△APD沿PD翻折得到△A′PD,以A′P和PB為鄰邊作A′PBE,A′E交射線BC于點(diǎn)F,交射線PQ于點(diǎn)G.設(shè)A′PBE與四邊形PDCQ重疊部分圖形的面積為Scm2,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.
(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合;
(2)用含t的代數(shù)式表示QF的長(zhǎng);
(3)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)請(qǐng)直接寫出當(dāng)射線PQ將A′PBE分成的兩部分圖形的面積之比是1:3時(shí)t的值.
【答案】(1)t=1(2)當(dāng)0<t≤時(shí),QF=6﹣9t;當(dāng)<t<2時(shí),QF=9t﹣6.
當(dāng)0<t≤時(shí),S=12t2;當(dāng)<t≤1時(shí),S=﹣42t2+72t﹣24:當(dāng)1<t<2時(shí),S=6t2﹣24t+24.
t的值為秒或秒.
【解析】
(1)易證△ADP∽△ACB,從而可得AD=4t,由折疊可得AA′=2AD=8t,由點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合可得8t=8,從而可以求出t的值.
(2)根據(jù)點(diǎn)F的位置不同,可分點(diǎn)F在BQ上(不包括點(diǎn)B)、在CQ上(不包括點(diǎn)Q)、在BC的延長(zhǎng)線上三種情況進(jìn)行討論,就可解決問題.
(3)根據(jù)點(diǎn)F的位置不同,可分點(diǎn)F在BQ上(不包括點(diǎn)B)、在CQ上(不包括點(diǎn)Q)、在BC的延長(zhǎng)線上三種情況進(jìn)行討論,就可解決問題.
(4)可分①S△A′PG:S四邊形PBEG=1:3,如圖7,②S△BPN:S四邊形PNEA′=1:3,如圖8,兩種情況進(jìn)行討論,就可解決問題.
試題
試題解析:(1)如圖1,
由題可得:PA′=PA=5t,CQ=3t,AD=A′D.
∵∠ACB=90°,AC=8,AB=10,∴BC=6.
∵∠ADP=∠ACB=90°,
∴PD∥BC.
∴△ADP∽△ACB.
∴.
∴.
∴AD=4t,PD=3t.
∴AA′=2AD=8t.
當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合時(shí),AA′=AC.
∴8t=8.
∴t=1.
(2)①當(dāng)點(diǎn)F在線段BQ上(不包括點(diǎn)B)時(shí),如圖1,
則有CQ≤CF<CB.
∵四邊形A′PBE是平行四邊形,
∴A′E∥BP.
∴△CA′F∽△CAB.
∴ .
∴.
∴CF=6﹣6t.
∴3t≤6﹣6t<6.
∴0<t≤ .
此時(shí)QF=CF﹣CQ=6﹣6t﹣3t=6﹣9t.
②當(dāng)點(diǎn)F在線段CQ上(不包括點(diǎn)Q)時(shí),如圖2,
則有0≤CF<CQ.
∵CF=6﹣6t,CQ=3t,
∴0≤6﹣6t<3t.
∴<t≤1.
此時(shí)QF=CQ﹣CF=3t﹣(6﹣6t)=9t﹣6.
③當(dāng)點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,
則有AA′>AC,且AP<AB.
∴8t>8,且5t<10.
∴1<t<2.
同理可得:CF=6t﹣6.
此時(shí)QF=QC+CF=3t+6t﹣6=9t﹣6.
綜上所述:當(dāng)0<t≤時(shí),QF=6﹣9t;當(dāng)<t<2時(shí),QF=9t﹣6.
(3)①當(dāng)0<t≤時(shí),
過點(diǎn) A′作A′M⊥PG,垂足為M,如圖4,
則有A′M=CQ=3t.
∵,
∴,
∵∠PBQ=∠ABC,
∴△BPQ∽△BAC.
∴∠BQP=∠BCA.
∴PQ∥AC.
∵AP∥A′G.
∴四邊形APGA′是平行四邊形.
∴PG=AA′=8t.
∴S=S△A′PG=PGA′M
=×8t×3t=12t2.
②當(dāng)<t≤1時(shí),
過點(diǎn) A′作A′M⊥PG,垂足為M,如圖5,
則有A′M=QC=3t,PQ=DC=8﹣4t,PG=AA′=8t,QG=PG﹣PQ=12t﹣8,QF=9t﹣6..
∴S=S△A′PG﹣S△GQF
=PGA′M﹣QGQF
=×8t×3t﹣×(12t﹣8)×(9t﹣6)
=﹣42t2+72t﹣24.
③當(dāng)1<t<2時(shí),如圖6,
∵PQ∥AC,PA=PA′
∴∠BPQ=∠PAA′,∠QPA′=∠PA′A,∠PAA′=∠PA′A.
∴∠BPQ=∠QPA′.
∵∠PQB=∠PQS=90°,
∴∠PBQ=∠PSQ.
∴PB=PS.
∴BQ=SQ.
∴SQ=6﹣3t.
∴S=S△PQS=PQQS=×(8﹣4t)×(6﹣3t)=6t2﹣24t+24.
綜上所述:當(dāng)0<t≤時(shí),S=12t2;當(dāng)<t≤1時(shí),S=﹣42t2+72t﹣24:當(dāng)1<t<2時(shí),S=6t2﹣24t+24.
(4)①若S△A′PG:S四邊形PBEG=1:3,
過點(diǎn)A′作A′M⊥PG,垂足為M,過點(diǎn)A′作A′T⊥PB,垂足為T,如圖7,
則有A′M=PD=QC=3t,PG=AA′=8t.
∴S△A′PG=×8t×3t=12t2.
∵S△APA′=APA′T=AA′PD,
∴A′T=
∴SPBEA′=PBA′T=(10﹣5t)×=24t(2﹣t).
∵S△A′PG:S四邊形PBEG=1:3,
∴S△A′PG=×SPBEA′.
∴12t2=×24t(2﹣t).
∵t>0,
<>∴t=.②若S△BPN:S四邊形PNEA′=1:3,如圖8,
同理可得:∠BPQ=∠A′PQ,BQ=6﹣3t,PQ=8﹣4t,SPBEA′=24t(2﹣t).
∵四邊形PBEA′是平行四邊形,
∴BE∥PA′.
∴∠BNP=∠NPA′.
∴∠BPN=∠BNP.
∴BP=BN.
∵∠BQP=∠BQN=90°,
∴PQ=NQ.
∴S△BPN=PNBQ=PQBQ
=(8﹣4t)×(6﹣3t).
∵S△BPN:S四邊形PNEA′=1:3,
∴S△BPN=×SPBEA′.
∴(8﹣4t)×(6﹣3t)=×24t(2﹣t).
∵t<2,
∴t=.
綜上所述:當(dāng)射線PQ將A′PBE分成的兩部分圖形的面積之比是1:3時(shí),t的值為秒或秒.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】山西省每年的體育考試分成必考科目與選考科目?jī)刹糠郑渲羞x考科目是從一分鐘跳繩、擲實(shí)心球、坐位體前屈、仰臥起坐四個(gè)項(xiàng)目中選取一項(xiàng).王紅與李麗是一對(duì)好朋友且都在2020年參加中考,實(shí)心球是她倆的弱項(xiàng),其他三項(xiàng)都非常強(qiáng),體育考試選考的四個(gè)項(xiàng)目中,她倆一定不會(huì)選實(shí)心球.
(1)王紅在選考項(xiàng)目中,選中坐位體前屈的概率是 .
(2)王紅與李麗選取同一個(gè)選考項(xiàng)目的概率是多少? (在畫樹狀圖或列表時(shí),“一分鐘跳繩"用“”表示,“坐位體前屈”用“"表示,“仰臥起坐”用“”表示,“擲實(shí)心球”用“”表示)
(3)通過對(duì)我省某市2020年參加中考的學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)該市選擇“坐位體前屈”的學(xué)生的頻率穩(wěn)定在左右,已知該市有人參加2020年中考體育,請(qǐng)由此估計(jì)該市這名學(xué)生中選擇“坐位體前屈”的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們把兩邊之比為整數(shù)的三角形稱為倍比三角形.其中,這個(gè)整數(shù)比稱為倍比,第三條邊叫做該三角形的底.
(1)如圖1,△ABC是以AC為底的倍比三角形,倍比為3,若∠C=90°,AC=2,求BC的長(zhǎng);
(2)如圖2,△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),BD=3,CD=1,連結(jié)AD.若AC=2,求證:△ABD是倍比三角形,并求出倍比;
(3)如圖3,菱形ABCD中,∠BAD為鈍角,P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn),過P作PH⊥CD于H、當(dāng)CP+PH的值最小時(shí),APCD恰好是以PD為底的倍比三角形,記倍比為x,=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解,且反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限內(nèi)隨的增大而增大,那么反比例函數(shù)的關(guān)系式為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角標(biāo)系中,拋物線C:y=與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為y軸正半軸上一點(diǎn).且滿足OD=OC,連接BD,
(1)如圖1,點(diǎn)P為拋物線上位于x軸下方一點(diǎn),連接PB,PD,當(dāng)S△PBD最大時(shí),連接AP,以PB為邊向上作正△BPQ,連接AQ,點(diǎn)M與點(diǎn)N為直線AQ上的兩點(diǎn),MN=2且點(diǎn)N位于M點(diǎn)下方,連接DN,求DN+MN+AM的最小值
(2)如圖2,在第(1)問的條件下,點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E,將△BOE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△B′O′E′,將拋物線y=沿著射線PA方向平移,使得平移后的拋物線C′經(jīng)過點(diǎn)E,此時(shí)拋物線C′與x軸的右交點(diǎn)記為點(diǎn)F,連接E′F,B′F,R為線段E’F上的一點(diǎn),連接B′R,將△B′E′R沿著B′R翻折后與△B′E′F重合部分記為△B′RT,在平面內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)S,使得以B′、R、T、S為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,求點(diǎn)S的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究:
已知二次函數(shù)y=﹣x2+x+2的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);
(2)求證:△ABC為直角三角形;
(3)如圖,動(dòng)點(diǎn)E,F同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),其中點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB邊向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AC方向運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)F停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,連結(jié)EF,將△AEF沿EF翻折,使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,得到△DEF.當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí),是否存在某一時(shí)刻t,使得△DCO≌△BCO?(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合)若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從甲、乙、丙三名同學(xué)中隨機(jī)抽取環(huán)保志愿者,求下列事件的概率:
(1)抽取1名,恰好是甲;
(2)抽取2名,甲在其中.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某果園的工人需要摘蘋果園和梨園的果實(shí),蘋果園的果實(shí)是梨園的倍,如果前三天工人都在蘋果園摘果實(shí),第四天,的工人到梨園摘果實(shí),剩下的工人仍在蘋果園摘果實(shí),則第四天結(jié)束后蘋果園的果實(shí)全部摘完,梨園剩下的果實(shí)正好是名工人天的工作量.如果前三天工人都在蘋果園摘果實(shí),要使蘋果和梨同時(shí)摘完,則第四天開始,再外請(qǐng)一個(gè)工人的情況下,應(yīng)該安排___人摘蘋果.(假定工人們每人每天摘果實(shí)的數(shù)量是相等的,且每人每天的工作時(shí)間相等)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰直角△OEF在坐標(biāo)系中,有E(0,2),F(﹣2,0),將直角△OEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE,且A在第一象限內(nèi),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,E.且2a+3b+5=0.
(1)求拋物線的解析式.
(2)過ED的中點(diǎn)O'作O'B⊥OE于B,O'C⊥OD于C,求證:OBO'C為正方形.
(3)如果點(diǎn)P由E開始沿EA邊以每秒2厘米的速度向點(diǎn)A移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A沿AD邊以每秒1厘米的速度向點(diǎn)D移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),P,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止,且過P作GP⊥AE,交DE于點(diǎn)G,設(shè)移動(dòng)的開始后為t秒.
①若S=PQ2(厘米),試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍?
②當(dāng)S取最小時(shí),在拋物線上是否存在點(diǎn)R,使得以P,A,Q,R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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