Question

【題目】綜合與探究：

已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）求證：△ABC為直角三角形；

（3）如圖，動(dòng)點(diǎn)E，F同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AB邊向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以每秒個(gè)單位長度的速度沿射線AC方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)F停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連結(jié)EF，將△AEF沿EF翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，得到△DEF．當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使得△DCO≌△BCO？（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合）若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）；（2）證明見解析；（3）t＝.

【解析】

（1）利用x=0和y=0解方程即可求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先計(jì)算△ABC的三邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理可得結(jié)論；
（3）先證明△AEF∽△ACB，得∠AEF=∠ACB=90°，確定△AEF沿EF翻折后，點(diǎn)A落在x軸上點(diǎn)D處，根據(jù)△DCO≌△BCO時(shí)，BO=OD，列方程4-4t=1，可得結(jié)論．

（1）解：當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+2＝0，

解得：x1＝1，x2＝4，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）；

（2）證明：∵A（4，0），B（﹣1，0），C（0，2），

∴OA＝4，OB＝1，OC＝2．

∴AB＝5，AC＝＝，

∴AC2+BC2＝25＝AB2，

∴△ABC為直角三角形；

（3）解：由（2）可知△ABC為直角三角形．且∠ACB＝90°，

∵AE＝2t，AF＝t，

∴，

又∵∠EAF＝∠CAB，

∴△AEF∽△ACB，

∴∠AEF＝∠ACB＝90°，

∴△AEF沿EF翻折后，點(diǎn)A落在x軸上點(diǎn) D處，

由翻折知，DE＝AE，

∴AD＝2AE＝4t，

當(dāng)△DCO≌△BCO時(shí)，BO＝OD，

∵OD＝4﹣4t，BO＝1，

∴4﹣4t＝1，t＝，

即：當(dāng)t＝秒時(shí)，△DCO≌△BCO．