【題目】如圖,在平面直角標(biāo)系中,拋物線C:y=與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為y軸正半軸上一點(diǎn).且滿足OD=OC,連接BD,
(1)如圖1,點(diǎn)P為拋物線上位于x軸下方一點(diǎn),連接PB,PD,當(dāng)S△PBD最大時(shí),連接AP,以PB為邊向上作正△BPQ,連接AQ,點(diǎn)M與點(diǎn)N為直線AQ上的兩點(diǎn),MN=2且點(diǎn)N位于M點(diǎn)下方,連接DN,求DN+MN+AM的最小值
(2)如圖2,在第(1)問的條件下,點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為E,將△BOE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△B′O′E′,將拋物線y=沿著射線PA方向平移,使得平移后的拋物線C′經(jīng)過點(diǎn)E,此時(shí)拋物線C′與x軸的右交點(diǎn)記為點(diǎn)F,連接E′F,B′F,R為線段E’F上的一點(diǎn),連接B′R,將△B′E′R沿著B′R翻折后與△B′E′F重合部分記為△B′RT,在平面內(nèi)找一個點(diǎn)S,使得以B′、R、T、S為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,求點(diǎn)S的坐標(biāo).
【答案】解:(1);(2)(,3+)或(﹣,)或(﹣2,2).
【解析】
(1)由拋物線解析式求點(diǎn)A、B、C坐標(biāo),由OD=OC求點(diǎn)D坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t,可用待定系數(shù)法求得用t表示的直線PB解析式,即能用t表示PB與y軸交點(diǎn)G的坐標(biāo),進(jìn)而用t表示DG的長.以DG為界把△PBD分成左右兩邊的△PDG與△BDG,則以DG為底計(jì)算易求得△PBD面積與t的二次函數(shù)關(guān)系式,求對稱軸即得到△PBD最大時(shí)t的值,進(jìn)而得到點(diǎn)P坐標(biāo).求得∠ABP=30°,即x軸平分∠PBQ,故點(diǎn)P、Q關(guān)于x軸對稱,得到點(diǎn)Q坐標(biāo),進(jìn)而得到直線AQ解析式,發(fā)現(xiàn)∠QAB=∠PAB=60°.作直線AP,可得直線AQ與AP夾角為60°,過點(diǎn)M作MH⊥AP于H,即構(gòu)造出特殊Rt△MAN,得到MH=AM.把點(diǎn)D平移到D',使DD'∥MN且DD'=MN,構(gòu)造平行四邊形MNDD',故DN=D'M.所以DN+MN+AM可轉(zhuǎn)化為MN+D'M+MH.易得當(dāng)點(diǎn)D'、M、H在同一直線上時(shí),線段和會最短,即過D'作D'K⊥AP于K,D'K的值為所求.根據(jù)平移性質(zhì)求D'坐標(biāo),求直線D'K與直線AP解析式,聯(lián)立方程組求得K的坐標(biāo),即求得D'K的長.
(2)拋物線平移不改變開口方向和大小,再求得點(diǎn)E坐標(biāo)和點(diǎn)A坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求平移后的解析式,進(jìn)而求得點(diǎn)F.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△ABB'與△AEE'為等邊三角形,求出點(diǎn)E'、B'坐標(biāo),B'F⊥x軸且△B'E'F為含30°的直角三角形.把點(diǎn)R從E'移動到F的過程,發(fā)現(xiàn)∠RB'T一定小于90°,不可能成為矩形內(nèi)角,故只能是∠B'RT或∠B'TR=90°.點(diǎn)T可以在E'F上,也可以在B'F上,畫出圖形,根據(jù)含30°的直角三角形三邊關(guān)系計(jì)算各線段長,即能求點(diǎn)S坐標(biāo).
解:(1)如圖1,過點(diǎn)D作DD'∥MN,且DD'=MN=2,連接D'M;過點(diǎn)D'作D'J⊥y軸于點(diǎn)J;
作直線AP,過點(diǎn)M作MH⊥AP于點(diǎn)H,過點(diǎn)D'作D'K⊥AP于點(diǎn)K
∵y==0
解得:x1=﹣3,x2=1
∴A(﹣3,0),B(1,0)
∵x=0時(shí),y==﹣
∴C(0,﹣),OC=
∴OD=OC=,D(0,)
設(shè)P(t, t2+t﹣)(﹣3<t<1)
設(shè)直線PB解析式為y=kx+b,與y軸交于點(diǎn)G
∴ 解得:
∴直線PB:y=(t+)x﹣t﹣,G(0,﹣t﹣)
∴DG=﹣(﹣t﹣)=t+
∴S△BPD=S△BDG+S△PDG=DGxB+DG|xP|=DG(xB﹣xP)=(t+)(1﹣t)=﹣(t2+4t﹣5)
∴t=﹣=﹣2時(shí),S△BPD最大
∴P(﹣2,﹣),直線PB解析式為y=x﹣,直線AP解析式為y=﹣x﹣3
∴tan∠ABP==
∴∠ABP=30°
∵△BPQ為等邊三角形
∴∠PBQ=60°,BP=PQ=BQ
∴BA平分∠PBQ
∴PQ⊥x軸,PQ與x軸交點(diǎn)I為PQ中點(diǎn)
∴Q(﹣2,)
∴Rt△AQI中,tan∠QAI=
∴∠QAI=∠PAI=60°
∴∠MAH=180°﹣∠PAI﹣∠QAI=60°
∵MH⊥AP于點(diǎn)H
∴Rt△AHM=90°,sin∠MAH=
∴MH=AM
∵DD'∥MN,DD'=MN=2
∴四邊形MNDD'是平行四邊形
∴D'M=DN
∴DN+MN+AM=2+D'M+MH
∵D'K⊥AP于點(diǎn)K
∴當(dāng)點(diǎn)D'、M、H在同一直線上時(shí),DN+MN+AM=2+D'M+MH=2+D'K最短
∵DD'∥MN,D(0,)
∴∠D'DJ=30°
∴D'J=DD'=1,DJ=DD'=
∴D'(1,)
∵∠PAI=60°,∠ABP=30°
∴∠APB=180°﹣∠PAI﹣∠ABP=90°
∴PB∥D'K
設(shè)直線D'K解析式為y=x+d,
把點(diǎn)D'代入得: +d=
解得:d=
∴直線D'K:y=x+
把直線AP與直線D'K解析式聯(lián)立得:
解得:
∴K(﹣,)
∴D'K=
∴DN+MN+AM的最小值為
(2)連接B'A、BB'、EA、E'A、EE',如圖2
∵點(diǎn)C(0,﹣)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為E
∴E(0,)
∴tan∠EAB=
∴∠EAB=30°
∵拋物線C'由拋物線C平移得到,且經(jīng)過點(diǎn)E
∴設(shè)拋物線C'解析式為:y=x2+mx+
∵拋物線C'經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3,0)
∴×9﹣3m+=0
解得:m=
∴拋物線C'解析式為:y=x2+x+
∵x2+x+=0,解得:x1=﹣3,x2=﹣1
∴F(﹣1,0)
∵將△BOE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△B′O′E′
∴∠BAB'=∠EAE'=60°,AB'=AB=1﹣(﹣3)=4,AE'=AE=
∴△ABB'、△AEE'是等邊三角形
∴∠E'AB=∠E'AE+∠EAB=90°,點(diǎn)B'在AB的垂直平分線上
∴E'(﹣3,2),B'(﹣1,2)
∴B'E'=2,∠FB'E'=90°,E'F=
∴∠B'FE'=30°,∠B'E'F=60°
①如圖3,點(diǎn)T在E'F上,∠B'TR=90°
過點(diǎn)S作SW⊥B'E'于點(diǎn)W,設(shè)翻折后點(diǎn)E'的對應(yīng)點(diǎn)為E'
∴∠E'B'T=30°,B'T=B'E'=
∵△B′E′R翻折得△B'E'R
∴∠B'E'R=∠B'E'R=60°,B'E'=B'E'=2
∴E'T=B'E'﹣B'T=2﹣
∴Rt△RTE'中,RT=E'T=2﹣3
∵四邊形RTB'S是矩形
∴∠SB'T=90°,SB'=RT=2﹣3
∴∠SB'W=∠SB'T﹣∠E'B'T=60°
∴B'W=SB'=﹣,SW=SB'=3﹣
∴xS=xB'﹣B'W=,yS=yB'+SW=3+
∴S(,3+)
②如圖4,點(diǎn)T在E'F上,∠B'RT=90°
過點(diǎn)S作SX⊥B'F于點(diǎn)X
∴E'R=B'E'=1,點(diǎn)E'翻折后落在E'F上即為點(diǎn)T
∴B'S=RT=E'R=1
∵∠SB'X=90°﹣∠RB'F=30°
∴XS=B'S=,B'X=B'S=
∴xS=xB'+XS=﹣,yS=yB'﹣B'X=
∴S(﹣,)
③如圖5,點(diǎn)T在B'F上,∠B'TR=90°
∴RE'∥E'B',∠E'=∠B'E'R=60°
∴∠E'BE'=∠E'RE'=120°
∴四邊形B'E'RE'是平行四邊形
∵E'R=E'R
∴B'E'RE'是菱形
∴B'E'=E'R
∴△B'E'R是等邊三角形
∵∠B'SR=90°,即RS⊥B'E'
∴點(diǎn)S為B'E'中點(diǎn)
∴S(﹣2,2)
綜上所述,使得以B′、R、T、S為頂點(diǎn)的四邊形為矩形的點(diǎn)S坐標(biāo)為(,3+)或(﹣,)或(﹣2,2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個四邊形的對角線把四邊形分成兩個三角形,一個是等邊三角形,另一個是該對角線所對的角為60°的三角形,我們把這條對角線叫做這個四邊形的理想對角線,這個四邊形稱為理想四邊形.
(1)如圖①,在Rt△ABC中∠C=90°,∠B=30°,AC=4,D為AB上一點(diǎn),AD=2,E為BC中點(diǎn),連接DE.求證:四邊形ADEC為理想四邊形;
(2)如圖②,△ABC是等邊三角形,若BD為理想對角線,四邊形ABCD為理想四邊形.請畫圖找出符合條件的C點(diǎn)落在怎樣的圖形上;
(3)在(2)的條件下,
①若△BCD為直角三角形,BC=3,求AC的長度;
②如圖③,若CD=x,BC=y,AC=z,請直接寫出x,y,z之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC內(nèi)接于⊙O,連接AO并延長交BC于點(diǎn)D,若∠B=60°,∠C=50°,則∠BAD的度數(shù)是( 。
A.70°B.40°C.50°D.60°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)與點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)坐標(biāo).
(2)根據(jù)圖象回答,在什么范圍時(shí),一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值.
(3)求三角形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在學(xué)習(xí)了“利用三角函數(shù)測高”后,選定測量小河對岸一幢建筑物BC的高度,他們先在斜坡上的D處,測得建筑物頂端B的仰角為30°.且D離地面的高度DE=5m.坡底EA=30m,然后在A處測得建筑物頂端B的仰角是60°,點(diǎn)E,A,C在同一水平線上,求建筑物BC的高.(結(jié)果用含有根號的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是一次函數(shù)圖象上兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為其中,過點(diǎn)分別作軸的平行線,交拋物線于點(diǎn),
(1)若求的值;
(2)點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn),求面積的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上,且,線段交反比例函數(shù)的圖象于另一點(diǎn),連結(jié).若點(diǎn)為的中點(diǎn),,則的值為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】俄羅斯足球世界杯點(diǎn)燃了同學(xué)們對足球運(yùn)動的熱情,某學(xué)校劃購買甲、乙兩種品牌的足球供學(xué)生使用.已知用1000 元購買甲種足球的數(shù)量和用1600元購買乙種足球的數(shù)量相同,甲種足球的單價(jià)比乙種足球的單價(jià)少30元.
(1)求甲、乙兩種品牌的足球的單價(jià)各是多少元?
(2)學(xué)枝準(zhǔn)備一次性購買甲、乙兩種品牌的足球共25個,但總費(fèi)用不超過1610元,那么這所學(xué)校最多購買多少個乙種品牌的足球?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知第一象限的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上,過點(diǎn)A作AB⊥AO交x軸于點(diǎn)B,∠AOB=30°,將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)y=上,則k的值為( )
A.﹣4B.﹣C.﹣2D.﹣
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