Question

已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，將射線DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α與過(guò)點(diǎn)A且平行于BC邊的直線交于點(diǎn)E．
（1）如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系；

 

；
（2）如圖2，當(dāng)α=45°時(shí)，判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；
（3）如圖3，當(dāng)α為任意銳角時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，請(qǐng)直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：

 

．（用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)α=60°時(shí)，△ABC、△DCE是等邊三角形，連接EC，EC=DC，AC=BC，∠B+∠BAE=180°，∠B=60°，∠B=AC60⁰，∠CAE=60°，可得：△BDC≌△CAE，答案可證．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于F，可證得△DFB是等腰直角三角形，BD=DF=

2

2

BF，再證明△ADE∽△FCD，得：

AE

DF

=

AD

CF

．由DF∥AC，得：

BD

BF

=

AD

CF

．可得到

AE

BD

=

BD

BF

=

2

2

，繼而得到答案．
（3）由連結(jié)EC，可利用四點(diǎn)共圓證角相等，然后證△BDC∽△AEC相似可以確定BD=2cosα•AE．

解答：解：（1）BD=AE；
（2）BD=

2

AE；理由如下：
過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于F．
∵DF∥AC，
∴∠ABC=∠DFB．
∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°，
∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°．
∴△DFB是等腰直角三角形
∴BD=DF=

2

2

BF．
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE=180°．
∵∠DFB+∠DFC=180°
∴∠BAE=∠DFC．
∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α，
∴∠ADE=∠BCD．
∴△ADE∽△FCD．
∴

AE

DF

=

AD

CF

．
∵DF∥AC，
∴

BD

BF

=

AD

CF

．
∴

AE

BD

=

BD

BF

=

2

2

．
∴BD=

2

AE．
（3）補(bǔ)全圖形如圖，連接EC，由AE∥BC，∠EAC=∠ACB=α，
∴A、D、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠ADE=∠BCD=∠ACE，∠ABC=∠ACB=α，
∴△BDC∽△ACE，
∴

BD

AE

=

BC

AC

，
又∵

BC

AC

=2cosα，
∴BD=2cosα•AE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在解答本題時(shí)要注意類比思想的應(yīng)用，正確繪圖也是解題的關(guān)鍵．