Question

如圖，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是DC延長線上任意一點，CE=CF，∠ECF=90°，AE，BF相交于點G，AC，BF相交于點H．
（1）求證：AE=BF．
（2）判斷AE與BF的位置關(guān)系，并證明．
（3）若BC=

2

，CE=

3

4

，求BF的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠BCF=∠ACE，然后利用“邊角邊”證明△ACE和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BF；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠EAC=∠FBC，再求出∠AGH=90°，然后根據(jù)垂直的定義解答；
（3）利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CD=AD，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵∠BCF=90°+∠ACF，∠ACE=90°+∠ACF，
∴∠BCF=∠ACE，
在△ACE和△BCF中，

CE=CF ∠BCF=∠ACE AC=BC

，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF；

（2）解：AE⊥BF．
∵△ACE≌△BCF，
∴∠EAC=∠FBC，
∵∠AHG=∠CHB，∠ACB=90°，
∴∠AGH=∠BCH=90°，
∴AE⊥BF；

（3）解：∵∠ACB=90°，BC=

2

，
∴AB=

( 2 )2+( 2 )2

=2，
∵點D是AB的中點，
∴CD=AD=

1

2

AB=

1

2

×2=1，∠ADE=90°，
∴BF=AE=

AD2+DE2

=

12+(1+ 3 4 )2

=

65

4

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點在于求出∠BCF=∠ACE．