Question

【題目】已知：RT△ABC與RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．現(xiàn)將RT△ABC和RT△DEF按圖1的方式擺放，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上，并按如下方式運(yùn)動(dòng)．

運(yùn)動(dòng)一：如圖2，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿EF方向向右勻速運(yùn)動(dòng)，DE與AC相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)暫停運(yùn)動(dòng)；

運(yùn)動(dòng)二：在運(yùn)動(dòng)一的基礎(chǔ)上，如圖3，RT△ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，CA與DF交于點(diǎn)Q，CB與DE交于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)Q在DF上勻速運(yùn)動(dòng)，速度為cm/s，當(dāng)QC⊥DF時(shí)暫停旋轉(zhuǎn)；

運(yùn)動(dòng)三：在運(yùn)動(dòng)二的基礎(chǔ)上，如圖4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向終點(diǎn)F勻速運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)為止．

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），中間的暫停不計(jì)時(shí)，

解答下列問題

（1）在RT△ABC從運(yùn)動(dòng)一到最后運(yùn)動(dòng)三結(jié)束時(shí)，整個(gè)過程共耗時(shí)　 　s；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)RT△ABC與RT△DEF的重疊部分的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，點(diǎn)Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）見解析；（3）存在，t=3.5或6﹣時(shí)，點(diǎn)Q正好在線段AB的中垂線上，理由見解析

【解析】

(1)分段分別討論分析；

(2) 動(dòng)一，Rt△ABC與Rt△DEF的重疊部分為直角△QCE的面積，表示出即可；運(yùn)動(dòng)二，連接CD，可得∠E=∠CDQ，∠ECP=∠ECQ，EC=DC，所以△ECP≌△DCQ，RT△ABC與RT△DEF的重疊部分不變：y=8（4＜t＜6）；運(yùn)動(dòng)三，四邊形QDPC為矩形，CF=4-（t-6）=10-t，EC=8-CF=t-2，則可求得S矩形QDPC的值.

(3) Q在線段AB的中垂線上，連接BQ，可得AQ=QB，所以，AC-CQ= ，又AC=16cm，BC=12cm，得，CQ=3.5cm，又由∠DEF=45°，所以，EC=3.5cm，解答出即可．

（1）根據(jù)題意得，

運(yùn)動(dòng)一：

∵△DEF是等腰三角形，∠ACB=90°，EF=8cm，

∴EC=4cm，

∴運(yùn)動(dòng)一所用時(shí)間為：4÷1=4（秒），

運(yùn)動(dòng)二：

∵當(dāng)QC⊥DF時(shí)暫停旋轉(zhuǎn)，

∵CD=CF，

∴DQ=QF=2cm

∴運(yùn)動(dòng)二所用時(shí)間為：2=2（秒），

運(yùn)動(dòng)三：

∵CF=4cm，

∴運(yùn)動(dòng)三所用的時(shí)間為：4÷1=4（秒），

∴整個(gè)過程共耗時(shí)4+2+4=10（秒）；

故答案為：10；

（2）運(yùn)動(dòng)一：如圖2，

設(shè)EC為tcm，則CQ為tcm，

∴S△ECQ=×t×t，

∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=t2（0≤t≤4），

運(yùn)動(dòng)二：如圖3，

連接CD，在△ECP和△DCQ中，

∵

∴△ECP≌△DCQ（ASA），

∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=8（4＜t＜6），

運(yùn)動(dòng)三：如圖4，

四邊形QDPC為矩形，

∴CF=4﹣（t﹣6）=10﹣t，

EC=8﹣CF=t﹣2，

∴S矩形QDPC=（t﹣2）×（10﹣t），

=t2+6t﹣10；

S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=t2+6t﹣10（6≤t≤10）；

（3）存在點(diǎn)Q，理由如下：

如圖5，運(yùn)動(dòng)一：

∵點(diǎn)Q在線段AB的中垂線上，連接BQ，

∴AQ=QB，

∴AC﹣CQ=，

又∵AC=16cm，BC=12cm，

解得，CQ=3.5cm，

∵∠DEF=45°，

∴EC=3.5cm，

此時(shí)，t為：3.5÷1=3.5秒．

如圖6，運(yùn)動(dòng)二：

同理：CQ=3.5，

過點(diǎn)C作CM⊥DF交DF于點(diǎn)M，CM=2，

在Rt△QCM中，QM==，

∴DQ=2﹣，

∴t=（2﹣）÷+4=6﹣；

運(yùn)動(dòng)三時(shí)，CQ最大為2＜3.5，

所以無解．

綜上，t=3.5或6﹣時(shí)，點(diǎn)Q正好在線段AB的中垂線上．