Question

已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題．
（1）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OC上移動，兩直角邊分別與OA，OB交于M，N，如圖①，求證：PM=PN；
（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OC上移動，一條直角邊與OB交于N，另一條直角邊與射線OA的反向延長線交于點(diǎn)M，并猜想此時①中的結(jié)論P(yáng)M=PN是否成立，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過P作PE⊥OA，PF⊥OB，由OC為∠AOB的平分線，利用角平分線定理得到PE=PF，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到△PME與△PNF全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）過P作PE⊥OA，PF⊥OB，由OC為∠AOB的平分線，利用角平分線定理得到PE=PF，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到△PME與△PNF全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證．

解答：解：（1）過P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵OC是∠AOB的平分線，
∴PE=PF，∠PEM=∠PFN=90°，
∵∠MPE+∠MPF=90°，∠NPF+∠MPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
在△PME和△PNF中，

∠PEM=∠PFN PE=PF ∠MPE=∠NPF

，
∴△PME≌△PNF（ASA），
∴PM=PN．
（2）過P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵OC是∠AOB的平分線，
∴PE=PF，∠PEM=∠PFN=90°，
∵∠MPE+∠MPF=90°，∠NPF+∠MPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
在△PME和△PNF中，

∠PEM=∠PFN PE=PF ∠MPE=∠NPF

，
∴△PME≌△PNF（ASA），
∴PM=PN．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．