Question

【題目】已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．

（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：　　；

（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；

（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）

Answer 1

【答案】（1）AH=AB；（2）數(shù)量關(guān)系成立，證明見(jiàn)試題解析；（3）6．

【解析】試題分析：（1）由三角形全等可以證明AH=AB；

（2）延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN，證明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB；

（3）分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCE，設(shè)AH=x，則MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．

試題解析：（1）如圖①AH=AB．

（2）數(shù)量關(guān)系成立．如圖②，延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN．

∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM．∵AB、AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高，∴AB=AH．

（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．設(shè)AH=x，則MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2，∴，

解得，（不符合題意，舍去）．∴AH=6．