Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），拋物線y=-2x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）如圖1，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2，連接AC、AD，將△ABC沿AC折疊后與AD、y軸分別交于點(diǎn)交于E、G，求OG的長度；

（3）如圖3，將拋物線在AC上方的圖象沿AC折疊后與y軸交與點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-2x2+2x+4；（2）；（3）F（0，）．

【解析】

（1）先根據(jù)四邊形ABCD是矩形得出點(diǎn)A．C坐標(biāo)，再代入解析式求出b．c的值，從而得出答案；

（2）由△ABC≌△AB′C知∠BCA=∠B′CA．由AO∥BC知∠BCA=∠B′CA，∠BCA=∠OAC，從而得∠B′CA=∠OAC．據(jù)此知AG=CG．設(shè)OG=x，則AG=CG=4-x．在Rt△OGC中，利用勾股定理可以求得x的值；

（3）在AC上方的拋物線圖象取點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)F′，過點(diǎn)F′作y軸的平行線交直線AC于點(diǎn)G，先證F′A=F′G，繼而得直線AC的解析式為y=-2x+4，設(shè)點(diǎn)F（n，-2n2+2n+4），則G（n，-2n+4）．根據(jù)F′A2=F′G2求出n的值，從而得出，F′A=F′G=FA=，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解：（1）如圖1，

∵四邊形OABC是矩形，B（2，4），

∴A（0，4），C（2，0），

∵拋物線y=-2x2+bx+c經(jīng)過A．C兩點(diǎn)，

∴，

∴，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-2x2+2x+4；

（2）如圖2，

由題意得：△ABC≌△AB′C．

∴∠BCA=∠B′CA．

∵AO∥BC，

∴∠BCA=∠B′CA，∠BCA=∠OAC，

∴∠B′CA=∠OAC．

∴AG=CG．

設(shè)OG=x，則AG=CG=4-x．

在Rt△OGC中，22+x2=（4-x）2，

得，

∴；

（3）如圖3，在AC上方的拋物線圖象取點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)F′，過點(diǎn)F′作y軸的平行線交直線AC于點(diǎn)G．

由題意得：∠FAC=∠F′AC，F′A=FA．

∵AO∥F′G，

∴∠FAC=∠AGF′．

∵∠FAC=∠F′AC，∠FAC=∠AGF′．

∴∠F′AC=∠AGF′，

∴F′A=F′G．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（0，4），C（2，0）代入得，解得

∴直線AC的解析式為：y=-2x+4．

設(shè)點(diǎn)F（n，-2n2+2n+4），則G（n，-2n+4）．

∴F′G=-2n2+4n，F′A2=n2+（-2n2+2n）2．

∵F′A=F′G．

∴F′A2=F′G2．

即：n2+（-2n2+4n）2=（-2n2+2n）2，

解得：n1=0（舍去），．

∴．

∴F′A=F′G=FA=，

∴F（0，）．