Question

如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，AB=AC，AD與BC相交于點E，BE＞EC，AB=2

3

，AE=2，BC=6．
（1）求DE的長；
（2）求BE的長；
（3）證明：BD是⊙O的直徑．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）首先利用AB=AC，得出∠ABC=∠C，進而證明△ABE∽△ADB，即可得出DE=AD-AE的長；
（2）首先得出△AEC∽△BED，進而求出BE的長；
（3）利用AB=2

3

，AE=2，BE=4，得出BE²=AB²+AE²，進而得出∠BAD=90°，即可得出答案．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠D=∠C，
∴∠ABC=∠D．
∵∠BAD=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB．               
∴

AE

AB

=

AB

AD

．
∵AB=2

3

，AE=2，
∴

2

2 3

=

2 3

AD

．
∴AD=6．                         
∴DE=AD-AE=6-2=4．
              
（2）∵∠CAD=∠CBD，∠C=∠D，
∴△AEC∽△BED．                
∴

AE

BE

=

CE

DE

．
∵AE=2，DE=4，BC=6，
∴

2

BE

=

6-BE

4

．
∴BE=2或 BE=4．                  
∵BE＞EC，∴BE=4．
              
（3）證明：∵AB=2

3

，AE=2，BE=4，
∴BE²=AB²+AE²．               
∴∠BAD=90°．
∴BD是⊙O的直徑．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理、勾股定理逆定理等知識，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．