Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A(-4，-4)，B(0，4)兩點(diǎn)，直線AC：y=-x-6交y軸與點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G.

（1）求拋物線y=-x2+bx+c的表達(dá)式；

（2）連接GB、EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）①在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH、HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A、E、F、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E、H的坐標(biāo)；

②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長為半徑作圓，點(diǎn)M為⊙E上一動(dòng)點(diǎn)，求AM+CM的最小值.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+4；（2）G(-2，4)；（3）①H(0，-1)；②

【解析】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進(jìn)而利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解即可；

（3）①先判斷出要以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，只有EF為對角線，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程即可；

②先取EG的中點(diǎn)P進(jìn)而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM=AM，連接CP交圓E于M，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

詳解：（1）（1）∵點(diǎn)A（-4，-4），B（0，4）在拋物線y=-x2+bx+c上，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+4；

（2）設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b

∵直線AB過點(diǎn)A(-4，-4)，B(0，4)，

∴，解得，

∴y=2x+4

設(shè)E(m，2m+4)，則G(m，-m2-2m+4)

∵四邊形GEOB是平行四邊形，

∴GE=OB=4，

∴-m2-2m+4-2m-4=4，解得m=-2

∴G(-2，4)

（3）①設(shè)E(m，2m+4)，則F(m，-m-6)

過A作AN⊥EG，過H作HQ⊥EG

四邊形AFHE是矩形，∴△PFN≌△HEQ，∴AN=QH，∴m+4=-m，解得m=-2，E(-2，0)

EQ=FN=-4+m+6=1

∴H(0，-1)

②由題意可得，E(-2，0)，H(0，-1),∴EH=，即⊙E的半徑為，

∵M點(diǎn)在⊙E上，∴EM=

∵A(-4，-4)，E(-2，0)，∴AE=2

在AE上截取EP=EM，則EP=，連接PM，

在ΔEPM與ΔEMA中，∵====，∠PEM=∠MEA，∴ΔEPM∽ΔEMA∴PM=AM

∴線段PC的長即為AM+CM的最小值

由EP=EM=AE=×2=，AP=AE-PE= , AC=2 ∴PC=

即AM+CM的最小值為.