Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC于D．

（1）動手操作：利用尺規(guī)作圓O，使圓O經(jīng)過點A、D，且圓心O在AB上；并標出圓O與AB的另一個交點E，與AC的另一個交點F（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）綜合應用：在你所作的圖中．

①判斷直線BC與圓O的位置關系，并說明理由；

②如果∠BAC=60°，CD=，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積（結(jié)果保留根號和π）．

　

Answer 1

【考點】作圖—復雜作圖；直線與圓的位置關系；扇形面積的計算．

【分析】（1）根據(jù)題意得：O點應該是AD垂直平分線與AB的交點；

（2）①由∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，與圓的性質(zhì)可證得AC∥OD，又由∠C=90°，則問題得證；

②設⊙O的半徑為r．則在Rt△OBD中，利用勾股定理列出關于r的方程，通過解方程即可求得r的值；然后根據(jù)扇形面積公式和三角形面積的計算可以求得線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S_△ODB﹣S_扇形ODE=2﹣π．

【解答】解：（1）如圖1；

（2）①直線BC與⊙O的位置關系為相切．理由如下：

如圖1，連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

即直線BC是⊙O的切線，

∴直線BC與⊙O的位置關系為相切；

②如圖2，

∵∠BAC的角平分線AD交BC于D，∠BAC=60°，∠C=90°，

∴∠CAD=∠DAB=30°，∠B=30°，

∴∠DAB=∠B=30°，

∴BD=AD．

∵在Rt△ADC中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD=，

∴AD=2CD=2，AC=CD=3，

∴BD=2，AB=2AC=6．

設⊙O的半徑為r，

在Rt△OBD中，OD²+BD²=OB²，

即r²+（2）²=（6﹣r）²，

解得r=2，OB=6﹣r=4，

∵∠ODB=90°，∠B=30°，

∴∠DOB=60°，

∴S_扇形ODE==π，

S_△ODB=OD•BD=×2×2=2，

∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S_△ODB﹣S_扇形ODE=2﹣π．

【點評】此題考查了作圖﹣復雜作圖，切線的判定與性質(zhì)以及扇形面積與三角形面積的求解方法等知識，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用是解答此題的關鍵．