Question

如圖，過矩形ABCD的頂點C作CE⊥BD，垂足為E，延長線EC至F，使CF=BD，這樣AF交BC于G，若AB=1，BD=2，則線段GF的長是

 

．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：連接AC，作AH⊥BD于H，作FM⊥BC，交BC延長線于M．則FM∥AB，首先證明△MGF是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出FM的長，進而可求出GF的長．

解答：解：連接AC，作AH⊥BD于H，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABD=∠ACD，
∵AH⊥BD，EF⊥BD，
∴AH∥EF，
∴∠HAF=∠F，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵CF=BD，AC=CF，
∴∠CAF=∠F，
∴∠HAF=∠CAF，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
作FM⊥BC，交BC延長線于M．則FM∥AB，
∵∠BAF=45°，
∴∠GFM=45°，
∴△MGF是等腰直角三角形，
∴FM=BC=

22-12

=

3

，
∴GF=

2

FM=

6

，
故答案為：

6

．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，題目的綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．