【題目】已知,如圖1,拋物線過點(diǎn)且對稱軸為直線點(diǎn)B為直線OA下方的拋物線上一動點(diǎn),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m.

(1)求該拋物線的解析式:

(2)若△OAB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.

(3)如圖2,過點(diǎn)B作直線BC∥y軸,交線段OA于點(diǎn)C,在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)D,使△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】(1;

2S,

3)存在,點(diǎn)B

【解析】試題分析:(1)根據(jù)拋物線過點(diǎn)且對稱軸為直線即可求得結(jié)果;

2)過點(diǎn)B軸,交于點(diǎn),則可得直線,則可設(shè)點(diǎn),點(diǎn)即可表示出BH,再根據(jù)三角形的面積公式即可表示出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值;

3)設(shè)在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)D滿足題意,過點(diǎn)D于點(diǎn)Q,則由(2)有點(diǎn),點(diǎn)B,即可表示BC,由BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形可得,則可得,再結(jié)合絕對值的性質(zhì)分類討論即可.

1)由題知: 解之,得

該拋物線的解析式為:

2)過點(diǎn)B軸,交于點(diǎn)由題知直線為:

設(shè)點(diǎn)點(diǎn)

3)設(shè)在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)D滿足題意,

過點(diǎn)D于點(diǎn)Q,則由(2)有點(diǎn),點(diǎn)B

是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形

即是:

解之:(舍去),

時(shí),

解之:(舍去)

當(dāng)時(shí),

綜上,滿足條件的點(diǎn)B.

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