【題目】如圖,已知A(2,4),以A為頂點的拋物線經(jīng)過原點交x軸于B.
(1)求拋物線解析式;
(2)取OA上一點D,以OD為直徑作⊙C交x軸于E,作EF⊥AB于F,求證EF是⊙C的切線;
(3)設⊙C半徑為r,EF=m,求m與r的函數(shù)關系式及自變量r的取值范圍;
(4)當⊙C與AB相切時,求⊙C半徑r的值.
【答案】(1)y=﹣x2+4x.(2)詳見解析;(3);(4)
【解析】
(1)已知了拋物線頂點的坐標,可用頂點式的二次函數(shù)通式來設二次函數(shù)的解析式,將原點的坐標代入解析式中即可求出二次函數(shù)的解析式;
(2)要證EF是圓C的切線,那么可連接CE,證CE⊥EF即可,由于EF⊥AB,那么只需證明CE∥AB即可得出EF是切線的結論,那么OC=CE,根據(jù)拋物線的對稱性可得OA=AB,由這兩組相等的線段即可得出∠OEC=∠ABO,由此可得證;
(3)由(2)可知∠ABO=∠AOB,那么可通過三角函數(shù)來解,根據(jù)A,O,B的坐標不難得出∠AOB,∠ABO的正弦值,那么可過C作OB的垂線,垂足為M,可在直角三角形OCM中,用∠AOB的正切值以及r的長表示出OM,也就求出了OE,進而可表示出BE的長,然后在直角三角形BFE中,根據(jù)∠ABO的正弦值用BE表示出BF,由此可得出關于m,r的函數(shù)關系式;
(4)如果⊙C與AB相切,設切點為G,那么如果連接CG,四邊形CEFG就是正方形,那么r=m=EF,那么根據(jù)(3)中m,r的函數(shù)關系式,將m=r代入(3)的函數(shù)關系式中即可求出r的值.
(1)設y=a(x﹣2)2+4,由于拋物線過原點(0,0),則有0=4a+4,
即a=﹣1.
因此拋物線的解析式為:y=﹣x2+4x;
(2)連CE,
則∠COE=∠CEO,
根據(jù)A是拋物線的頂點,可知OA=AB,即∠AOB=∠OBA,
∴∠OEC=∠ABO,
∴CE∥AB,又EF⊥AB,
∴CE⊥EF,
∴EF是⊙C的切線;
(3)分別過C、A作OB的垂線,垂足分別為M、N,
直角三角形OAN中,cos∠AOB=,
因此:OM=,OE=2OM=,EB=4﹣,
∴(0<r<);
(4)設⊙C切AB于點G,
連接CG,則CG⊥AB,
∴∠CGF=∠EFG=∠CEF=90°,
∴四邊形CEFG為矩形,
又CE=CG,
∴四邊形CEFG為正方形,
∴EF=r,
∴m=r①,
由(3)得,
解得r=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時,統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率,繪制了如下折線統(tǒng)計圖,則符合這一結果的實驗最有可能的是( 。
A. 袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的3個紅球和2個黃球,從中隨機取一個,取到紅球
B. 擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子,向上的面的點數(shù)是偶數(shù)
C. 先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,兩次都出現(xiàn)反面
D. 先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子,兩次向上的面的點數(shù)之和是7或超過9
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(題文)“校園詩歌大賽”結束后,張老師和李老師將所有參賽選手的比賽成績(得分均為整數(shù))進行整理,并分別繪制成扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)直方圖部分信息如下:
(1)本次比賽參賽選手共有 人,扇形統(tǒng)計圖中“69.5~79.5”這一組人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比為 ;
(2)賽前規(guī)定,成績由高到低前60%的參賽選手獲獎.某參賽選手的比賽成績?yōu)?/span>78分,試判斷他能否獲獎,并說明理由;
(3)成績前四名是2名男生和2名女生,若從他們中任選2人作為獲獎代表發(fā)言,試求恰好選中1男1女的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,以A為圓心,3為半徑作圓.試判斷:
①點C與⊙A的位置關系;②點B與⊙A的位置關系;③AB中的D點與⊙A的位置關系.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠ABD=∠ABC,補充一個條件,使得△ABD≌△ABC,則下列選項不符合題意的是( 。
A. ∠D=∠CB. ∠DAB=∠CABC. BD=BCD. AD=AC
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一輛摩拜單車放在水平的地面上,車把頭下方A處與坐墊下方B處在平行于地面的水平線上,A、B之間的距離約為49cm,現(xiàn)測得AC、BC與AB的夾角分別為45°與68°,若點C到地面的距離CD為28cm,坐墊中軸E處與點B的距離BE為4cm,求點E到地面的距離(結果保留一位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,cot68°≈0.40)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,∠AOB=70°,以點O為圓心,以適當長為半徑作弧分別交OA,OB于C,D兩點;分別以C,D為圓心,以大于CD的長為半徑作弧,兩弧相交于點P;以O為端點作射線OP,在射線OP上取點M,連接MC、MD.若測得∠CMD=40°,則∠MDB=_____
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,為了測量山坡上旗桿CD的高度,小明在點A處利用測角儀測得旗桿頂端D的仰角為37°,然后他沿著正對旗桿CD的方向前進17m到達B點處,此時測得旗桿頂部D和底端C的仰角分別為58°和30°,求旗桿CD的高度(結果精確到0.1m).
(參考數(shù)據(jù):sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6,sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75, ≈1.73)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,且點A在ED的延長線上,以DE為直徑的⊙O與AB交于G、H兩點,連接BE.
(1)求證:BE是⊙O的切線;
(2)如圖②,連接OB、OC,若tan∠CAD=,試判斷四邊形BECO的形狀,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,若BF=,請你求出HG的長.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com