Question

已知如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D為AB的中點，E為BC上一點，且DE⊥AB，垂足為D．點F在ED的延長線上，連接BF、AF，作AF的垂直平分線交EC于點G，連接FG，請?zhí)骄緽F與FG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：勾股定理

專題：

分析：連接AG，作FJ⊥AC，垂足為J，作FH⊥BC，垂足為H，得四邊形CHFJ為矩形，設(shè)AC=1，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=2，由勾股定理得：BC=

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，∵DE是AB的中垂線，∴AF=BF，∵GM是AF的中垂線，∴AG=FG，設(shè)BH=x，GH=y，F(xiàn)H=z，在Rt△BFH中：BF²=FH²+BH²=x²+z²；在Rt△FHG中：FG²=FH²+HG²=z²+y²；在Rt△AJF中：AF²=AJ²+JF²=（

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-x）²+（1-z）²；在Rt△ACG中：AG²=AC²+CG²=1+（

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-x-y）²，由AF=BF，AG=GF，得到AF²=BF²，AG²=GF²，然后將x，y，z代換即可．

解答：答：BF=FG．
證明：連接AG，作FJ⊥AC，垂足為J，作FH⊥BC，垂足為H，得四邊形CHFJ為矩形，
∴CH=JF，JC=FH．
設(shè)AC=1，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AB=2，
由勾股定理得：BC=

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，
∵DE是AB的中垂線，
∴AF=BF，
∵GM是AF的中垂線，
∴AG=FG，
設(shè)BH=x，GH=y，F(xiàn)H=z，
在Rt△BFH中：BF²=FH²+BH²=x²+z²；
在Rt△FHG中：FG²=FH²+HG²=z²+y²；
在Rt△AJF中：AF²=AJ²+JF²=（

3

-x）²+（1-z）²；
在Rt△ACG中：AG²=AC²+CG²=1+（

3

-x-y）²，
∵AF=BF，AG=GF，
∴AF²=BF²，AG²=GF²，
即：x²+z²=（

3

-x）²+（1-z）²  ①，
z²+y²=1+（

3

-x-y）²  ②，
化簡①得：z=2-

3

x  ③，
將③代入②得：x²-

3

x+

3

y-xy=0，
即x（x-y）-

3

（x-y）=0，
（x-y）（x-

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）=0，
∴x=y，
∴BH=GH，
∵FH⊥BG，
∴FH是BG的中垂線，
∴BF=FG

點評：此題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列關(guān)系式．