Question

已知拋物線y=ax²-2ax-b（a＞0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（-1，0），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸，及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C．
①求拋物線的解析式；
②點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)F在拋物線上，且以B，A，F(xiàn)，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知拋物線解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)求出a值，利用對(duì)稱軸x=-

b

2a

求出對(duì)稱軸以及點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）①本題要靠輔助線的幫助．連接AC，AD，過DM⊥y軸于點(diǎn)M．證明△AOC∽△CMD后可推出a，b的值．
②證明四邊形BAFE為平行四邊形，求出BA，EF得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）對(duì)稱軸是直線：x=-

b

2a

=-

-2a

2a

=1，
∵拋物線y=ax²-2ax-b（a＞0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（-1，0），對(duì)稱軸是直線x=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0）；

（2）①如圖1，連接AC、AD，過D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，
解法一：∵以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，
∴∠ACD=90°，
∴∠OCA+∠MCD=90°，
∵∠OCA+∠OAC=90°，∠CDM+∠MCD=90°，
∴∠OCA=∠CDM，∠OAC=∠MCD，
∴△AOC∽△CMD，
∵點(diǎn)A、D、C的坐標(biāo)分別是A（3，0），D（1，-a-b）、
C（0，-b），
∴AO=3，MD=1．
由

AO

CM

=

OC

MD

，
得

3

a

=

b

1

，
∴3-ab=0．
又∵0=a•（-1）²-2a•（-1）-b，
∴由

3-ab=0 3a-b=0

，
得

a=1 b=3

，
∴函數(shù)解析式為：y=x²-2x-3．
解法二：利用以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，連接CD．
∵點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別是A（3，0）、D（1，-a-b）、C（0，-b），
∴AC=

9+b2

，CD=

1+a2

，AD=

4+(-a-b)2

∵AC²+CD²=AD²
∴3-ab=0①
又∵0=a•（-1）²-2a•（-1）-b②
由①、②得a=1，b=3，
∴函數(shù)解析式為：y=x²-2x-3．

②如圖所示，當(dāng)BAFE為平行四邊形時(shí)
則BA∥EF，并且BA=EF．
∵BA=4，
∴EF=4
由于對(duì)稱為x=1，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為5．
將x=5代入y=x²-2x-3得y=12，
∴F（5，12）．
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上也存在點(diǎn)F，
使得四邊形BAEF是平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)F坐標(biāo)為（-3，12）．
當(dāng)四邊形BEAF是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)F即為點(diǎn)D，
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，-4）．
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，12），（-3，12）或（1，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及平行四邊形的判定定理，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出F點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．