Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，連接PA，PC.

（1）證明：∠PAB=∠PCB;

（2）在BC上截取一點(diǎn)E，連接PE，使得PE=PC，連接AE，判斷△PAE的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△PAE是等腰直角三角形. 理由見解析.

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=CB，∠ABD=∠CBD，又知BP=BP，即可證△ABP≌△CBP，于是得到PA=PC，∠PAB=∠PCB；（2）根據(jù)PE=PC得到∠PEC=∠PCB，進(jìn)而求出∠PAB=∠PEC，由E是BC上一點(diǎn)，∠PEB+∠PEC=180°求得∠PAB+∠PEB=180°，進(jìn)而求出∠APE=90°，再根據(jù)PA=PC，PE=PC，求出PA=PE，于是證得△PAE是等腰直角三角形．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABP=∠CBP ，

又∵BP=BP，

∴△ABP≌△CBP，

∴∠PAB=∠PCB，

（2）△PAE是等腰直角三角形. 理由如下：

∵PE=PC，

∴∠PEC=∠PCB，

由（1）∠PAB=∠PCB，

∴∠PAB=∠PEC ，

∵∠PEC+∠PEB=180°，

∴∠PAB+∠PEB=18，

∵∠PAB+∠ABE+∠PEB+∠APE=360°，

∠ABE=90°，

∴∠APE=90°，

由（1）△ABP≌△CBP得PA=PC，

∵PE=PC，

∴PA= PE，

∴△PAE是等腰直角三角形.

“點(diǎn)睛”本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理，此題難度不大．