Question

已知：如圖，拋物線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E．求四邊形ABDE的面積；

（3）△AOB與△BDE是否相似？如果相似，請(qǐng)予以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）9；（3）相似，理由見(jiàn)試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由于拋物線的解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，因此可根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

（2）由于四邊形ABDE不是規(guī)則的四邊形，因此可將ABDE分割成幾個(gè)規(guī)則的圖形后再進(jìn)行求解．可設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為F，那么四邊形ABDE的面積=三角形AOB的面積+直角梯形BOFD的面積+三角形DFE的面積，根據(jù)拋物線的解析式可求得D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因此就可求出DF、OF、EF的長(zhǎng)，根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得出OA、OB的長(zhǎng)，那么求這些圖形面積的相關(guān)線段的長(zhǎng)就都已求出，從而可得出四邊形ABDE的面積．

（3）可先根據(jù)B、D、E的坐標(biāo)，求出BD、DE、BE的長(zhǎng)，由于三角形AOB是直角三角形，要想判定兩三角形是否相似，就要先判斷三角形BDE是否為直角三角形，可根據(jù)BD、DE、BE三邊的長(zhǎng)以及勾股定理，來(lái)判斷出三角形BDE是否為直角三角形，如果是直角三角形，那么找出三角形BDE中的直角，然后看夾直角的兩組對(duì)應(yīng)邊是否成比例即可得出兩三角形是否相似．

試題解析：（1）由已知得：，解得c=3，b=2，∴拋物線的線的解析式為；

（2）由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），所以對(duì)稱(chēng)軸為x=1，A，E關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，所以E（3，0），

設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為F，所以四邊形ABDE的面積=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE=AO·BO+（BO+DF）·OF+EF·DF=×1×3+（3+4）×1+×2×4=9；

（3）相似．如圖，連接AB、BD、DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥DF于點(diǎn)G．

BD=，BE=，

DE=，所以=20，即：，

所以△BDE是直角三角形，所以∠AOB=∠DBE=90°，且，所以△AOB∽△DEB．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．