Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連接DP交AC于點(diǎn)Q．
（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當(dāng)AQ=

 

AC時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的

1

8

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等，對(duì)角線平分一組對(duì)角，可得AB=AD，∠DAQ=∠BAQ，而AQ是△ADQ和△ABQ的公共邊，所以兩三角形全等；
（1）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AD于點(diǎn)H．根據(jù)三角形的面積公式可以求得QH=

1

4

AD．然后由平行線分線段成比例求得AQ與AC的比值．

解答：（1）證明：在△ADQ和△ABQ中，

AD=AB  ∠DAQ=∠BAQ AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AD于點(diǎn)H．則QH∥CD．
∴

HQ

CD

=

AQ

AC

．
又∵△ADQ的面積是正方形ABCD面積的

1

8

，
∴

1

2

AD•QH=

1

8

×AD•CD，
∴QH=

1

4

AD，
∴

QH

AD

=

QH

CD

=

1

4

∴

HQ

CD

=

AQ

AC

=

1

4

，即AQ=

1

4

AC．
故答案是：

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正方形的邊與角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定，勾股定理的運(yùn)用以及平行線分線段成比例定理，對(duì)同學(xué)們能力要求較高．