Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，1），下列結(jié)論：①ac＜0；②a+b=0；③b²=4a（c-1）；④a+b+c＜0；⑤2a+c＜0．其中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：由拋物線的開(kāi)口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．

解答：解：①∵根據(jù)圖示知，拋物線開(kāi)口方向向下，則a＜0．
拋物線與y軸交與正半軸，則c＞0，
∴ac＜0．
故①正確；
②∵拋物線的對(duì)稱軸直線x=-

b

2a

=

1

2

，
∴a=-b．
∴a+b=0．
故②正確；
③∵該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，1），
∴1=

4ac-b2

4a

，
∴b²-4ac=-4a．
∴b²=4a（c-1）．
故③正確；
④∵根據(jù)圖示知，當(dāng)x=0時(shí)，y＞0，
∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知，當(dāng)x=1時(shí)，y＞0，即a+b+c＞0．
故④錯(cuò)誤．
⑤∵a=-b，b²-4ac=-4a，
∴a²-4ac=-4a，
∵a≠0，
∴a=4c-4．
∴2a+c=8c-8+c=7c-8．
根據(jù)圖示知，0＜c＜1，
∴0＜7c＜7，
∴2a+c=8c-8+c=7c-8＜0．
故⑤正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有4個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定．