【題目】如圖,在等邊△ABC中,點D、E分別在BC、AC上,且BD=CE,連接AD,BE交于點F;
(1)求∠AFE的度數(shù);
(2)連接FC,若∠AFC=90°,BF=1,求AF的長.
【答案】(1)60°;(2)2.
【解析】
(1)因為△ABC為等邊三角形,所以∠ABD=∠BCE=60°,AB=AC=BC,又BD=CE,所以用“SAS”可判定△ABD≌△BCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠CBE,利用三角形外角性質(zhì)解答即可;
(2)延長BE至H,使FH=AF,連接AH,CH,得到:△ACH,利用等邊三角形的性質(zhì)進而解答即可.
解:(1)∵△ABC為等邊三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABD=∠BCE=60°,
在△ABD和△BCE中,
,
∴△ABD≌△BCE(SAS);
∴∠BAD=∠CBE,
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B,
∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°;
(2)
延長BE至H,使FH=AF,連接AH,CH
由(1)知∠AFE=60°,∠BAD=∠CBE,
∴△AFH是等邊三角形,
∴∠FAH=60°,AF=AH,
∴∠BAC=∠FAH=60°,
∴∠BAC-∠CAD=∠FAH-∠CAD,
即∠BAF=∠CAH,
在△BAF和△CAH中,
∵AB=AC,∠BAF=∠CAH,AF=AH,
∴△BAF≌△CAH(SAS),
∴∠ABF=∠ACH,CH=BF=1;
又∵∠ABC=∠BAC,∠BAD=∠CBE,
∴∠ABC-∠CBE=∠BAC-∠BAD,
即∠ABF=∠CAF,
∴∠ACH=∠CAF,
∴AF∥CH,
∵∠AFC=90°,∠AFE=60°,
∴CF⊥CH,∠CFH=30°,
∴FH=2CH,
∴AF=2BF=2×1=2,
即AF的長為2.
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【題目】紅星中學九年級(1)班三位教師決定帶領(lǐng)本班名學生利用假期去某地旅游,楓江旅行社的收費標準為:教師全價,學生半價;而東方旅行社不管教師還是學生一律八折優(yōu)惠,這兩家旅行社的全價都是500元。
(1)用含的式子表示三位教師和位學生參加這兩家旅行社所需的費用各是多少元;
(2)如果=50時,請你計算選擇哪一家旅行社較為合算?
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【題目】如圖,某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD,現(xiàn)計劃在空地上種植草皮,經(jīng)測量∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元,則要投入_____元.
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【題目】小明做了一個數(shù)學實驗:將一個圓柱形的空玻璃杯放入形狀相同的無水魚缸內(nèi),然后,小明對準玻璃杯口勻速注水,如圖所示,在注水過程中,杯底始終緊貼魚缸底部,則下面可以近似地刻畫出無魚水缸內(nèi)最高水位與注水時間之間的變化情況的是( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖,菱形OABC的一邊OA在x軸的負半軸上,O是坐標原點,A點坐標為(-10,0),對角線AC和OB相交于點D且AC·OB=160.若反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象經(jīng)過點D,并與BC的延長線交于點E,則S△OCE∶S△OAB=________.
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【題目】如圖,已知中,,,點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以2cm/s的速度由點B向C點運動,同時,點Q在線段AC上由點A向C點以4cm/s的速度運動.
(1)若點P、Q兩點分別從B、A兩點同時出發(fā),經(jīng)過2秒后,與是否全等?請說明理由;
(2)若點P、Q兩點分別從B、A兩點同時出發(fā),的周長為16cm,設(shè)運動時間為t,問:當t為何值時,是等腰三角形?
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【題目】已知點O(0,0),B(1,2).
(1)若點A在y軸上,且三角形AOB的面積為2,求點A的坐標;
(2)若點C的坐標為(3,0),BD∥OC,且BD=OC,求點D的坐標.
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【題目】等角轉(zhuǎn)化;如圖1,已知點A是BC外一點,連結(jié)AB、AC,求∠BAC+∠B+∠C的度數(shù).
(1)閱讀并補充下面的推理過程
解:過點A作ED∥BC,
∴∠B=∠EAB,∠C= ( )
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=180°
從上面的推理過程中,我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能,將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起,得出角之間的關(guān)系,使問題得以解決.
(2)如圖2,已知AB∥ED,求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)(提示:過點C作CF∥AB);
(3)如圖3,已知AB∥CD,點C在點D的右側(cè),∠ADC=80°,點B在點A的左側(cè),∠ABC=60°,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在的直線交于點E,點E在兩條平行線AB與CD之間,求∠BED的度數(shù).
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【題目】閱讀下面材料,并解決有關(guān)問題
我們知道:
|a|=
現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化解含有絕對值的代數(shù)式
如化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時,可令x+1=0和x﹣2=0,分別求得x=﹣1和x=2(稱﹣1,2分別為|x+1|和|x﹣2|的零點值)
在實數(shù)范圍內(nèi),零點值x=﹣1和x=2可將全體實數(shù)分成不重復且不遺漏的如下三種情況:
(1)x<﹣1(2)﹣1≤x<2(3)x≥2
從而化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|,可分以下三種情況
(1)x<﹣1時,原式=﹣(x+1)﹣(x﹣2)=﹣2x+1
(2)﹣1≤x<2時,原式=x+1﹣(x﹣2)=3
(3)x≥2時,原式=x+1+x﹣2=2x﹣1
通過以上閱讀,請你解決以下問題
(1)化簡代數(shù)式|x+2|+|x﹣4|
(2)求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值.
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