【題目】已知拋物線y=ax2﹣4ax+3a交x軸于A、B兩點(點A在點B左側(cè)),且拋物線頂點的縱坐標為﹣1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若P是拋物線上一點,過點P作PQ⊥x軸交直線l1:y=x+t于點Q.若恰好存在三個點P使得PQ=,求證:直線l1過點A;
(3)在(2)的結(jié)論下,直線l1與拋物線的另一個交點為D,直線l2:y=kx+c(﹣4<k<﹣1)經(jīng)過點A,過線段AD上一點E(異于點A、D)作x軸的垂線,分別與直l2、拋物線交于點F、G.連接GD,作FH∥GD交直線l1于點H,求EH長的取值范圍.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)見解析;(3)EH長的取值范圍為:2<EH<5.
【解析】
(1)y=ax2﹣4ax+3a=a(x2﹣4x+3),則點A、B的坐標為:(1,0)、(3,0),則函數(shù)的對稱軸為:x=2,頂點為:(2,1),即可求解;
(2)恰好存在三個點P使得PQ=,則出現(xiàn)如圖所示的情況,點Q在點P的上方只有一個,如圖P、Q點所示的情況,設(shè)點P(x,x2﹣4x+3),則點Q(x,x+t),PQ=x+t﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+5x+t﹣3,因為1<0,故PQ有最大值,此時,代入PQ,解得t的值,即可求解;
(3)設(shè)點E(m,m﹣1),則點G(m,m2﹣4m+3),點F(m,mk﹣k),點D(4,3),求出直線HF的表達式,聯(lián)立①②并解得:x=m+1k=,求出EH,根據(jù)4<k<1,即可求得解.
(1)y=ax2﹣4ax+3a=a(x2﹣4x+3),
則點A、B的坐標為:(1,0)、(3,0),
則函數(shù)的對稱軸為:x=2,頂點為:(2,﹣1),
則y=a(x﹣2)2﹣1=ax2﹣4ax+4a﹣1,
故3a=4a﹣1,解得:a=1,
故拋物線的表達式為:y=x2﹣4x+3;
(2)恰好存在三個點P使得PQ=,則出現(xiàn)如圖所示的情況,
點Q在點P的上方只有一個,如圖P、Q點所示的情況,
設(shè)點P(x,x2﹣4x+3),則點Q(x,x+t),
PQ=x+t﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+5x+t﹣3,
∵﹣1<0,故PQ有最大值,此時,
則,解得:t=﹣1,
即y=x﹣1,當x=1時,y=0,
所以直線l1過點A;
(3)將點A的坐標代入直線l2的表達式并解得:
直線l2的表達式為:y=kx﹣k,
直線l1的表達式為:y=x﹣1…①,
設(shè)點E(m,m﹣1),則點G(m,m2﹣4m+3),點F(m,mk﹣k),點D(4,3),
將點G、D的坐標代入一次函數(shù)表達式得:直線GD表達式中的k值為:,
FH∥GD,則設(shè)直線FH的表達式為:y=mx+b,
將點F的坐標代入上式并解得:
直線HF的表達式為:y=mx+(mk﹣k﹣m2)…②,
聯(lián)立①②并解得:x=m+1﹣k=,
則EH=()=(m+1﹣k﹣m)=(1﹣k),
而﹣4<k<﹣1,則2<EH<5;
故EH長的取值范圍為:2<EH<5.
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【題目】草莓是云南多地盛產(chǎn)的一種水果,今年某水果銷售店在草莓銷售旺季,試銷售成本為每千克20元的草莓,規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價,也不高于每千克40元,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn),銷售量y(千克)與銷售單價x(元)符合一次函數(shù)關(guān)系,如圖是y與x的函數(shù)關(guān)系圖象.
(1)求y與x的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)該水果銷售店試銷草莓獲得的利潤為W元,求W的最大值.
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【題目】某校準備組織一次“研學之旅”活動,現(xiàn)用抽簽的方式從以下四個地方:九峰公園、柑橘博覽園、平田桐樹坑、長潭水庫(其中九峰公園、平田桐樹坑是愛國主義教育基地)中確定兩個作為活動地點.將四個地點分別寫在4張完全相同的卡片上,背面朝上并洗勻,先從中隨機抽取一張卡片,再從剩下的卡片中隨機抽取一張.則“抽中的兩個地方都是愛國主義教育基地”的概率為_____.
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【題目】今年本市蜜桔大豐收,某水果商銷售一種蜜桔,成本價為10元/千克,已知銷售價不低于成本價,且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于18元/千克,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量(千克)與銷售價(元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示:
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤,銷售價應定為多少?
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【題目】如圖,△ABC中,AB=3,AC=4,以AC為斜邊向外作等腰直角△ACD.連接BD,將△DAB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°,點B的對應點為E.
(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形;
(2)在(1)的情況下連接BE,若BC=5,求△BCE的面積.
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,點I是△ABC的內(nèi)心,∠AIC=124°,點E在AD的延長線上,則∠CDE的度數(shù)為( )
A. 56° B. 62° C. 68° D. 78°
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【題目】如圖①,在中,,,D是BC的中點.
小明對圖①進行了如下探究:在線段AD上任取一點P,連接PB.將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn),點B的對應點是點E,連接BE,得到.小明發(fā)現(xiàn),隨著點P在線段AD上位置的變化,點E的位置也在變化,點E可能在直線AD的左側(cè),也可能在直線AD上,還可能在直線AD的右側(cè).請你幫助小明繼續(xù)探究,并解答下列問題:
(1)當點E在直線AD上時,如圖②所示.
① ;②連接CE,直線CE與直線AB的位置關(guān)系是 .
(2)請在圖③中畫出,使點E在直線AD的右側(cè),連接CE.試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系,并說明理由.
(3)當點P在線段AD上運動時,求AE的最小值.
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【題目】端午節(jié)那天,小賢回家看到桌上有一盤粽子,其中有豆沙粽、肉粽各1個,蜜棗粽2個,這些粽子除餡外無其他差別.
(1)小賢隨機地從盤中取出一個粽子,取出的是肉粽的概率是多少?
(2)小賢隨機地從盤中取出兩個粽子,試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果,并求出小賢取出蜜棗粽的概率.
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【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展,基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應運而生.為了解某小區(qū)居民使用共享單車的情況,某研究小組隨機采訪該小區(qū)的10位居民,得到這10位居民一周內(nèi)使用共享單車的次數(shù)分別為:17,12,15,20,17,0,7,26,17,9.
(1)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 ,眾數(shù)是 ;
(2)計算這10位居民一周內(nèi)使用共享單車的平均次數(shù);
(3)若該小區(qū)有200名居民,試估計該小區(qū)居民一周內(nèi)使用共享單車的總次數(shù).
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