Question

【題目】尺規(guī)作圖與說(shuō)理（要求保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法．）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

（1）過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CD，交AB于點(diǎn)D；

（2）作∠ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F；

（3）觀察線段CE與CF有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3) CE＝CF，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）以C為圓心，以一定長(zhǎng)度為半徑，使弧與AB交于兩點(diǎn)，再作這兩點(diǎn)之間線段的中垂線即可；

（2）根據(jù)角平分線的畫(huà)法，用尺規(guī)作圖即可；

（3）根據(jù)等角的余角相等即可證出∠BFD＝∠CEB，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得：∠BFD＝∠CFE，從而得出：∠CFE＝∠CEF，最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可證出：CE＝CF.

（1）以C為圓心，以一定長(zhǎng)度為半徑，使弧與邊AB交于兩點(diǎn)，再作這兩點(diǎn)之間線段的中垂線，如圖所示，CD即為所求；

（2）以B為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑，作弧，分別交BA、BC于兩點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)之間的距離為半徑作弧，兩弧交于一點(diǎn)，如圖所示，BE即為所求；

（3）CE＝CF，

理由如下：∵CD⊥AB，

∴∠FDB＝90°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBF＝∠DBF，

∵∠DFB+∠DBF＝∠CEB+∠CBF＝90°，

∴∠BFD＝∠CEB，

∵∠BFD＝∠CFE，

∴∠CFE＝∠CEF，

∴CE＝CF．