Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求直線AB的解析式；

（2）當(dāng)t=2秒時(shí)，求四邊形OPQB的面積；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？

　

Answer 1

【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）根據(jù)直線經(jīng)過點(diǎn)A、B，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式；

（2）過點(diǎn)Q作QM⊥OA于M，由△AMQ∽△AOB求出QM的值，求出四邊形OPQB的面積；

（3）以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出t的值．

【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

將點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0）代入得，

，

解得，，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+6；

（2）過點(diǎn)Q作QM⊥OA于M，

當(dāng)t=2秒時(shí)，AP=2，AQ=AB﹣BQ=6，

在Rt△OAB中，OA=6，OB=8，

由勾股定理可得，AB=10，

∵∠AOB=90°，QM⊥OA，

∴△AMQ∽△AOB，

∴=，即=，

解得，QM=，

∴△APQ的面積=×AP×QM=，

∴四邊形OPQB的面積=△AOB的面積﹣△APQ的面積=；

（3）由題意得，AO=6，BO=8，AB=10，AP=t，AQ=10﹣2t，

當(dāng)△APQ∽△AOB時(shí)， =，即=，

解得，t=；

當(dāng)△APQ∽△ABO時(shí)， =，即=，

解得，t=，

因此，t=或t=時(shí)，以點(diǎn)A．P．Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)解析式的確定，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．