Question

已知菱形ABCD中，點R是CD上的一個動點，過A，R的直線交BD于O，交BC的延長線于S．
（1）若R為CD的中點，求證：AR=SR；
（2）若AD=2，∠DCB=60°，BS=6，求AS的長．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）若R為CD的中點，利用菱形的性質(zhì)易證△ADR≌△SCR，由全等三角形的性質(zhì)可得：AR=SR；
（2）過A作AT⊥BC，與CB的延長線交于T，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=AD=2，∠ABT=60°，所以根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得到BT，AT的長，則TS=TB+BS可求出，然后根據(jù)勾股定理可計算出AS的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥CS，
∴∠ADR=∠SCR，
∵R為CD的中點，
∴DR=CR，
在△ADR和△SCR中，

∠ADR=∠SCR DR=CR ∠ARD=∠SRC

，
∴△ADR≌△SCR（ASA）；
（2）過A作AT⊥BC，與CB的延長線交于T，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，∠DCB=60°，
∴AB=AD=2，∠ABT=60°，
∴BT=

1

2

AB=1，AT=

3

BT=

3

，
∵BS=6，
∴TS=TB+BS=7，
∴AS=

3+49

=

52

=2

13

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，也考查了菱形的性質(zhì)、含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及勾股定理的運用．