Question

如圖1，均勻的向一個由三個等高圓柱組合成的容器中注水（圓柱底面半徑從小到大分別為acm，bcm，ccm），最后把圓柱注滿，水面高度h（cm）隨時間t（s）的變化規(guī)律如圖2所示．
（1）這個容器的性狀是圖1中

 

，容器深度為

 

cm；
（2）若a=5cm，求注水速度v（單位：cm3/s）及b，c的值（π取3）；
（3）求注水全過程中容器的水深h（cm）與注水時間t（s）的函數解析式；
（4）畫出圖中向另兩個容器注水時水面高度h隨時間t變化的圖象（不用列表）．

Answer 1

考點：一次函數的應用

專題：

分析：（1）由函數圖象就可以得出函數圖象表示的是容器③，容器的深度為30cm；
（2）先求出最小圓柱的體積，就可以求出注水速度，根據注水速度就可以都分別求出b、c的值；
（3）由求分段函數的方法當0≤t≤100，100＜t≤325，325＜t≤350時由待定系數法就可以求出結論；
（4）根據圖2的數據就可以直接畫出①、②的函數圖象．

解答：解：（1）由函數可以直接得出：
這個容器的性狀是圖1中③，容器深度為30cm．
故答案為：③，30；
（2）由題意，得
小圓柱的體積為：π×25×30=750πcm³，
注水速度為：v=750π÷（350-325）=30πcm³/s．
較小圓柱的體積為：30π×100=3000πcm³，
最大圓柱的體積為：30π×125=3750πcm³，
∴b=

3000π 10π

=10

3

cm，
c=

3750π 10π

=5

15

cm．
答：注水速度v=30πcm3/s，b=10

3

cm，c=5

15

cm；
（3）當0≤t≤100時，設h與t之間的函數關系式為h₁=k₁t，由題意，得
10=100k₁，
解得：k₁=0.1，
h₁=0.1t；
當100＜t≤325時，設h與t之間的函數關系式為h₂=k₂t+b₂，由題意，得

10=100k2+b2 20=325k2+b2

，
解得：

k2= 2 25 b2=2

，
h₂=

2

25

t+2，；
當325＜t≤350時，設h與t之間的函數關系式為h₃=k₃t+b₃，由題意，得

20=325k3+b3 30=350k3+b3

，
解得：

k3=0.4 b3=-110

，
h₃=0.4t-110．
綜上所述，h=

0.1t(0≤t≤100) 2 25 t+2(100＜t≤325) 0.4t-110(325＜t≤350)

；
（4）由題意，根據圖2折線關系就可以得出：
①的圖象
，
②的圖象

點評：本題考查了圓柱的體積公式的運用，分段函數的運用，待定系數法求一次函數的解析式的運用，解答時結合圖形和函數圖象，弄清函數圖象的數據含義是關鍵．