Question

如圖，AB為半圓O的直徑，以AO為直徑作半圓M，C為OB的中點，過點C作半圓M的切線交半圓M于點D，延長AD交圓O于點E，若AB等于4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：計算題

分析：由CD為半圓M的切線，得到DC垂直于MD，再由M為OA中點，C為OB中點，得到AM=MO=OC=BC=1，在直角三角形DMC中，根據(jù)DM等于MC的一半，得到∠DCM=30°，∠DMC=60°，根據(jù)AM=DM，得到∠MAD=∠OEA=30°，在直角三角形AOD中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半，求出OD的長，利用勾股定理求出AD的長，確定出AE的長，同理求出DF與AC的長，確定出∠EOB的度數(shù)，陰影部分面積=三角形AOE面積+舒扇形OEB面積-三角形ACD面積，求出即可．

解答：解：∵CD與半圓M相切，
∴DC⊥MD，
∵AB=4，O為AB中點，M、C分別為AO、OB的中點，
∴AM=OM=OC=CB=1，
在Rt△MDC中，DM=1，MC=OM+OC=2，
∴DM=

1

2

MC，即∠DCM=30°，
∴∠DMC=60°，
∵AM=DM，
∴∠MAD=∠MDA=30°，
∴∠EOB=60°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=30°，
∴OD=

1

2

OA=1，AD=

22-12

=

3

，
∵OD⊥AE，
∴AE=2AD=2

3

，
∴DF=

1

2

AD=

3

2

，AF=

( 3 )2-( 3 2 )2

=

3

2

，
∴AC=2AF=3，
則S_陰影=S_△AOE+S_扇形EOB-S_△ACD=

1

2

×2

3

×1+

60π×22

360

-

1

2

×3×

3

2

=

3

4

+

2π

3

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及扇形的面積計算，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．