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【題目】如圖,已知一次函數y=-x+7與正比例函數y=x的圖像交于點A,且與x軸交于點B.

1)求點A和點B的坐標;

2)過點AACy軸于點C,過點B作直線ly軸.動點P從點O出發(fā),以每秒1個單位長的速度,沿OCA的路線向點A運動;同時直線l從點B出發(fā),以相同速度向左平移,在平移過程中,直線lx軸于點R,交線段BA或線段AO于點Q.當點P到達點A時,點P和直線l都停止運動.在運動過程中,設動點P運動的時間為t.

①當t為何值時,以A、PR為頂點的三角形的面積為8?

②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)B(7,0);(2)8;

【解析】

(1)解方程組求圖象交點;(2)結合三角函數,根據等腰三角形判定求出點的坐標.

1)解:根據題意得,解得 ,

A3,4

y=0,x=7.

∴B(7,0)

(2) 當P在OC上運動時,0≤t<4

由S△APR=S四邊形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8得t2-8t+12=0,

解得:t=2,t=6(舍)

當點P在CA上運動時, 4≤t<7

由S△APR==8,得t=3,(舍)

∴當t=2時,以A,P,R為頂點的三角形的面積是8

當P在OC上運動時,0≤t<4

∴AP=,AQ=(4-t),PQ=7-t,

當AP=AQ時, =(4-t),解得t=1或t=7(舍),

當AP=PQ時, =7-t,解得t=4(舍),

當PQ=AQ時, 7-t=(4-t),解得t=1±(舍),

當點P在CA上運動時, 4≤t<7,過點A作AD⊥OB于D,則AD=BD=4,

設直線l交AC于E,則QE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-t

由cos∠OAC=,得AQ=

當AP=AQ時,7-t=,解得t= ,

當PQ=AQ時,AE=PE,即AE=AP,t-4=(7-t),解得t=5,

當AP=PQ時,過點P作PF⊥AQ于F

AF=AQ=×,在Rt△APF中,由cos∠PAF=,得AF=AP,即

×=×(7-t),解得t=

綜上,當t=1或或5或時,△APQ是等腰三角形.

練習冊系列答案
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【題目】如圖,在矩形ABCD,AB=6cm,BC=12cm,P從點A出發(fā),沿AB邊向點B1cm/s的速度移動,同時點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C2cm/s的速度移動,如果P,Q兩點同時出發(fā),分別到達B,C兩點后就停止移動.

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例如:求點P0(0,0)到直線4x+3y﹣3=0的距離.

解:由直線4x+3y﹣3=0知,A=4,B=3,C=﹣3,∴點P0(0,0)到直線4x+3y﹣3=0的距離為=

根據以上材料,解決下列問題:

問題1:點P1(3,4)到直線的距離為 ;

問題2:已知:⊙C是以點C(2,1)為圓心,1為半徑的圓,⊙C與直線相切,求實數b的值;

問題3:如圖,設點P為問題2中⊙C上的任意一點,點A,B為直線3x+4y+5=0上的兩點,且AB=2,請求出SABP的最大值和最小值.

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1)當運動時間為2s時,P、Q兩點的距離為   cm

2)請你計算出發(fā)多久時,點P和點Q之間的距離是10cm;

3)如圖2,以點O為坐標原點,OC所在直線為x軸,OA所在直線為y軸,1cm長為單位長度建立平面直角坐標系,連結AC,與PQ相交于點D,若雙曲線過點D,問k的值是否會變化?若會變化,說明理由;若不會變化,請求出k的值.

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(2)求AEF的面積.

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