Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，⊙O經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)D，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，以GD，GC為鄰邊作GDEC．

（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

（2）若點(diǎn)B是的中點(diǎn)，⊙O的半徑為2，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）DE是⊙O的切線，理由見解析；（2）π

【解析】

(1) 連接OD，由題意可得∠ABC＝45°，再結(jié)合圓周角定理可得∠COD＝2∠ABC＝90°，再由平行四邊形GDEC可得，∠EDO+∠COD＝180°，即∠EDO=90°，即可完成證明;

(2) 連接OB，可得點(diǎn)B是的中點(diǎn)，進(jìn)一步說明∠BOC＝∠BOD，在確定∠BOC的度數(shù)，最后用弧長(zhǎng)公式求解即可·

解：（1）DE是⊙O的切線；理由如下：

連接OD，

∵∠ACB＝90°，CA＝CB，

∴∠ABC＝45°，

∴∠COD＝2∠ABC＝90°，

∵四邊形GDEC是平行四邊形，

∴DE∥CG，

∴∠EDO+∠COD＝180°，

∴∠EDO＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）連接OB，

∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，

∴，

∴∠BOC＝∠BOD，

∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，

∴∠BOC==135°

∴的長(zhǎng)＝＝π．