Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°， BC∥x軸，拋物線y=ax2－2ax＋3經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，并且與x軸交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接CD，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P使△PCD為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）y=-x2+2x+3；（2）P1(1，4) P2(1，-2) .

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），由此可求拋物線的解析式.

(2)分兩種情況：CD為直角邊，CD為斜邊進(jìn)行討論，由勾股定理得到方程即可求出P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：（1）∵y=ax2－2ax＋3

∴它的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

令x=0，則y=3,

∴B（0，3）

根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性知：C（2，3），A（1，4）

把A（1，4）代入y=ax2－2ax＋3，得：a=-1

∴拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；

（2）存在.分兩種情況：

（1）當(dāng)CD為直角邊時(shí)，設(shè)P（1，a）：

i)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，DP=，CP=，，

∵CD2+CA2=AD2

∴18+2=4+a2

即：a2=16

解得a=±4（負(fù)舍去）

∴a=4

ii)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，CD2+DP2=CP2

∴

解得：a=-2

(2)當(dāng)CD為斜邊時(shí)，同理可以得出：a=

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：P1(1，4) P2(1，-2)

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.