Question

等腰△ABC中，AB＝AC，邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度m得到線段AD．

（1）如圖1，若∠BAC＝30°，30°＜m＜180°，連接BD，請(qǐng)用含m的式子表示∠DBC的度數(shù)；

（2）如圖2，若∠BAC＝60°，0°＜m＜360°，連接BD，DC，直接寫(xiě)出△BDC為等腰三角形時(shí)m所有可能的取值___ __；

（3）如圖3，若∠BAC＝90°，射線AD與直線BC相交于點(diǎn)E，是否存在旋轉(zhuǎn)角度m，使，若存在，求出所有符合條件的m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

（1）∠DBC=m﹣15°；

（2）m的取值為：30°，120°，210°，300°；

（3）存在2個(gè)符合條件的m的值：m=30°或m=330°．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠ABC，∠ABD的度數(shù)，相減即可求解；

（2）分四種情況討論得到△BDC為等腰三角形時(shí)m的取值；

（3）分E點(diǎn)在BC上和CB的延長(zhǎng)線上兩種情況討論求解．

試題解析：（1）∠ABC=（180°﹣30°）÷2=75°，

∠ABD=（180°﹣m）÷2=90°﹣m，

∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=75°﹣（90°﹣m）=m﹣15°；

（2）由分析圖形可知m的取值為：30°，120°，210°，300°；

（3）存在2個(gè)符合條件的m的值：m=30°或m=330°．

如圖①：過(guò)E作EF⊥AB于F．

在Rt△BEF中，∵∠FBE=45°，

∴BE=EF，

∵AE：BE=；

∴AE=2EF；

又∵∠AFE=90°；

∴∠FAE=30°．即m=30°

在Rt△AEF中，∵∠FAE=30°，

∴AE=2EF，

∴AE：BE=；

如圖②：同理可得：AE：BE=．

．

考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)2.等腰直角三角形3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．