Question

【題目】（1）如圖，∠A=∠D=90°，BE平分∠ABC，且點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：BC=AB+CD．

（2）如圖，△ACB和△ECD都是等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．

①求證：AD=BE；

②求∠AEB的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②60°．

【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，可得∠EFB=∠A=90°，已知BE平分∠ABC，根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE=∠FBE，利用AAS即可判定ΔABE≌ΔFBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=EF，AB=BF，又由點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，可得AE=ED=EF，再利用HL判定RtΔCDE≌RtΔCFE，即可得CD=CF，所以BC=CF+BF=AB+CD；（2）①根據(jù)已知條件易證AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，利用SAS證明△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得AD=BE；②在等邊△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，即可得∠ADC=120°．

再由△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得∠BEC=∠ADC=120°，所以∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°．

試題解析：

（1）過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，則∠EFB=∠A=90°

又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，∴ΔABE≌ΔFBE（AAS）

∴AE=EF，AB=BF，又點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)， ∴AE=ED=EF

∴RtΔCDE≌RtΔCFE（HL）

∴CD=CF，∴BC=CF+BF=AB+CD

（2）①證明：∵△ACB和△ECD都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

又∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．

②在等邊△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，

∴∠ADC=120°．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠BEC=∠ADC=120°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°．