Question

如圖，過(guò)點(diǎn)A（0，3）的直線l₁與x軸交于點(diǎn)B，tan∠ABO=

3

4

．過(guò)點(diǎn)A的另一直線l₂：y=-

3

4t

x+b （t＞0）與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)PB=5t．
（1）求直線l₁的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)△PHQ的面積為S（S≠0），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；
（3）當(dāng)點(diǎn)P 在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t值，使以P，H，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ相似？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的t值所對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由A（0，3），且tan∠ABO=

3

4

，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得此一次函數(shù)的解析式；
（2）首先可求得△OAB的三邊長(zhǎng)，易得△BHP∽△BOA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再分別從①當(dāng)H在Q、B之間時(shí)（如圖1），與②當(dāng)H在O、Q之間時(shí)（如圖2），去分析求解即可求得答案；
（3）分別從①當(dāng)H在Q、B之間時(shí)，②當(dāng)H在O、Q之間時(shí)，③當(dāng)H在B的右側(cè)時(shí)，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵A（0，3），且tan∠ABO=

3

4

，
∴B（4，0），
設(shè)y=kx+b，將A（0，3）B（4，0）代入上式得：

b=3 4k+b=0

，
解得k=-

3

4

，b=3，
∴函數(shù)解析式為y=-

3

4

x+3；

（2）由B（4，0）．
∴OB=4，
∵OA=3，
∴AB=5．
∵PH⊥x軸，
∴PH∥OA，
∴△BHP∽△BOA，
∵OA：OB：AB=3：4：5，
∴HP：HB：BP=3：4：5，
∵PB=5t，
∴HB=4t，HP=3t．
∴OH=OB-HB=4-4t．
由y=-

3

4t

x+3與x軸交于點(diǎn)Q，得Q（4t，0），
①當(dāng)H在Q、B之間時(shí)（如圖1），QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t．
∴S=

1

2

（4-8t）×3t=-12t²+6t（0＜t＜

1

2

）；
②當(dāng)H在O、Q之間時(shí)（如圖2），QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4．
S=

1

2

（8t-4）3t=12t²-6t（

1

2

＜t≤1）；

（3）存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ相似．
①當(dāng)H在Q、B之間時(shí)，BH=4t，OQ=4t，PH=3t，
∴QH=4-8t，
當(dāng)△OAQ∽△HQP時(shí)，

OQ

PH

=

OA

QH

，
即

4t

3t

=

3

4-8t

，
解得：t₁=

7

32

，則P₁（

25

8

，

21

32

）；
當(dāng)△OAQ∽△HQP時(shí)，

OQ

QH

=

OA

PH

，
即

4t

4-8t

=

3

3t

，
解得：t₂=

2

-1，則P₂（8-4

2

，3

2

-3）；
②當(dāng)H在O、Q之間時(shí)，則QH=8t-4，
同理可得：t₃=

25

32

，P₃（

7

8

，

75

32

） 或者t₄=1，P₄（0，3）；
③當(dāng)H在B的右側(cè)時(shí)，QH=4，則t₅=1，P₅（8，-3）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．