Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOBC的頂點A，B的坐標分別是A（0，4），B（4

3

，0），作點A關于直線y=kx（k＞0）的對稱點P，△POB為等腰三角形，則點P的坐標為

 

．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：點A關于直線y=kx（k＞0）的對稱點為P，則y=kx為AP垂直平分線，由此可得OP=OA=4，然后分BP=BO，OB=OP，PO=PB分類討論，得出P坐標．

解答：解：∵矩形AOBC的頂點A，B的坐標分別是A（0，4），B（4

3

，0），
∴OA=4，OB=4

3

，
∵點P關于直線y=kx（k＞0）與點A對稱，
∴OP=OA=4，
∵△POB為等腰三角形
∴BP=BO，OP=PB，OB=OP（不成立，因為OA=4，OB=4

3

）
當BP=BO=4

3

時，如圖，

作PH⊥OB，BG⊥OP垂足分別為H、G，
∴OG=PG=

1

2

OP=2
∴BG=

BP2-PG2

=2

11

∵

1

2

×OP×BG=

1

2

×OB×PH
即4×2

11

=4

3

×PH
∴PH=

2 33

3

∴OH=

OP2-PH2

=

2

3

3

，
∴點P坐標為（

2

3

3

，

2 33

3

）
當OP=PB=4時，如圖，

作PF⊥OB垂足為F
∴OF=FB=

1

2

OB=2

3

∴PF=

OP2-OF2

=2
∴點P坐標為（2

3

，2）；
同理，當點P在第四象限時，點P坐標為（

2

3

3

，-

2 33

3

）或（2

3

，-2）．
綜上所知點P坐標為（

2

3

3

，

2 33

3

）或（2

3

，2）或（

2

3

3

，-

2 33

3

）或（2

3

，-2）．
故答案為：（

2

3

3

，

2 33

3

）或（2

3

，2）或（

2

3

3

，-

2 33

3

）或（2

3

，-2）．

點評：此題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及關于直線對稱的性質(zhì)，注意分類討論思想的滲透．