【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)直線y=﹣x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線的解析式;

(2)畫(huà)出拋物線的圖象;

(3)x軸上是否存在點(diǎn)N使△ADN為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.(2)圖象見(jiàn)解析;(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,0)或(﹣7,0).

【解析】

(1)先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得b,c的值即可;
(2)依據(jù)拋物線解析式為y=-x2+2x+3,列表,描點(diǎn),連線即可;
(3)先利用配方法求得點(diǎn)D的坐標(biāo),當(dāng)∠DNA=90°時(shí),DN⊥OA,可得到點(diǎn)N的坐標(biāo),從而得到AN=2,然后再求得AD的長(zhǎng);當(dāng)∠N′DA=90°時(shí),依據(jù)sin∠DN′A=sin∠ADN可求得AN′的長(zhǎng),從而可得到N′的坐標(biāo).

解:(1)將x=0代入AB的解析式y=﹣x+3得:y=3,

B(0,3).

y=0代入AB的解析式y=﹣x+3得:﹣x+3=0,

解得x=3,

A(3,0).

將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c,得:

解得:b=2,c=3.

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.

(2)列表:

拋物線的圖象如下:

(3)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

D(1,4).

①當(dāng)∠DNA=90°時(shí),如圖所示:

∵∠DNA=90°時(shí),

DNOA.

又∵D(1,4)

N(1,0).

AN=2.

DN=4,AN=2,

AD=2

②當(dāng)∠N′DA=90°時(shí),則∠DN′A=NDA.

,

解得:AN′=10.

A(3,0),

N′(﹣7,0).

綜上所述,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,0)或(﹣7,0).

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