Question

如圖14-1，在銳角△ABC中，AB = 5，AC =，∠ACB = 45°．

計算：求BC的長；

操作：將圖14-1中的△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到△A1BC1．如圖14-2,當點C1在線段CA的延長線上時．

（1）證明：A1C1⊥CC1；

（2）求四邊形A1BCC1的面積；

探究：

將圖14-1中的△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到△A1BC1．連結(jié)AA1,CC1，如圖14-3．若△ABA1的面積為5,求點C到BC1的距離；

拓展：

將圖14-1中的△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到△A1BC1．點E為線段AB中點,點P是線段AC上的動點,在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中,點P的對應(yīng)點是點P1, 如圖14-4．

（1）若點P是線段AC的中點，求線段EP1長度的最大值與最小值；

（2）若點P是線段AC上的任一點,直接寫出線段EP1長度的最大值與最小值．

 

Answer 1

(1)7.(2)證明見解析；；（3）；（4）+，-；，-．

【解析】

試題分析：過點A做AG⊥BC于G，通過解直角三角形得BG和CG的長，從而可求出BC的長；

由旋轉(zhuǎn)易證∠CC1A1 =∠CC1B+∠A1C1B =45°＋45°=90°，故A1C1⊥CC1；四邊形A1BCC1的面積=△CC1B的面積+△A1C1B的面積=；由△∽△C1BC易求點C到BC1的距離為.

計算：

【解析】
過點A做AG⊥BC于G，

∵∠ACB = 45°

∴∠GAC = 45°

∴AG=CG

∴在Rt△AGC中， AG=CG ==4

∴在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG=3

∴BC=BG+CG=4+3=7．

操作：

（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A1C1B =∠ACB =45°，BC=BC1

∴∠CC1B =∠C1CB =45°

∴∠CC1A1 =∠CC1B+∠A1C1B =45°＋45°=90°

∴A1C1⊥CC1

（2）四邊形A1BCC1的面積=△C C1B的面積+ △A1C1B的面積=×7×7+×7×4=．

探究：

【解析】
設(shè)△中A1B邊為的高為m；△C1CB中BC1邊為的高為n．

∵×5m=5

∴m=2

∵∠ABC=∠A1B C1

∴∠ C1BC=∠A1BA

∵

∴△∽△C1BC

∴==

∴n=

∴點C到BC1的距離.

拓展：

（1）過點P做PH⊥BC，得到：PH=CH=2，

∴BH=BC－CH=7－2=5．

在Rt△BHP中，根據(jù)勾股定理得：BP==．

①△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點P1在線段BA的延長線上時，

EP1最小，最小值為B P1－BE=BP－BE=－；

②△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時,

EP1最大，最大值為BP1+ BE =BP+ BE =+．

（2）過點B作BD⊥AC，D為垂足,

∵△ABC為銳角三角形

∴點D在線段AC上

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=．

①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，

點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，

EP1最小，最小值為 -

② 當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，

點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，

EP1最大，最大值為+7= ．

考點：1.解直角三角形；2.相似三角形.